具有不同奇偶校验的相邻元素的所有子序列的计数

本文将介绍如何计算一个数组中具有不同奇偶校验的相邻元素的所有子序列的计数，也就是说，对于一个给定的数组，我们要求出其中满足以下条件的子序列数量：

• 子序列的相邻元素的奇偶性不同
• 子序列包括空序列和整个序列

例如，对于数组 [2, 3, 4, 5, 6]，其具有不同奇偶校验的相邻元素的所有子序列为：[2] [2, 3] [2, 3, 4] [2, 3, 4, 5] [2, 3, 4, 5, 6] [3, 4] [3, 4, 5] [3, 4, 5, 6] [4, 5] [4, 5, 6] [5]

解题思路

我们可以使用动态规划的思想解决此问题。假设 $dp[i]$ 表示包括第 $i$ 个元素的所有满足条件的子序列数量，则有：

• 如果 $i=0$，则 $dp[0]=1$ （只包括第一个元素的空序列）
• 如果 $nums[i]$ 为偶数，则 $dp[i]=dp[i-1]$ （包括第 $i$ 个元素的子序列数量为包括第 $i-1$ 个元素的子序列数量）
• 如果 $nums[i]$ 为奇数，则 $dp[i]=dp[i-1]+lastdp$ （包括第 $i$ 个元素的子序列数量为包括第 $i-1$ 个元素的子序列数量加上末尾元素为上一个偶数的子序列数量）

其中 $lastdp$ 表示从左向右遍历数组中最近的一个偶数元素的 $dp$ 值（如果不存在则为 $0$）。

最终的答案为 $\sum_{i=0}^{n-1}dp[i]$。时间复杂度为 $O(n)$。

具体实现见下：

def count_subsequences(nums):
    # 初始化
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = 1 if nums[0] % 2 == 1 else 0
    last_dp = dp[0]
    ans = dp[0]
    # 循环计算 dp 值和答案
    for i in range(1, n):
        if nums[i] % 2 == 0:
            dp[i] = dp[i-1]
        else:
            dp[i] = dp[i-1] + last_dp
            last_dp = dp[i-1] if nums[i-1] % 2 == 0 else last_dp
        ans += dp[i]
    return ans

总结

本文介绍了如何通过动态规划的思想计算一个数组中具有不同奇偶校验的相邻元素的所有子序列的计数。通过初始化和遍历计算 dp 值，并最终累加得到答案。最终时间复杂度为 $O(n)$。