通过删除 (arr[i] + arr[i + 1])th 个元素恰好 K 次来修改数组

在解决问题时，我们可能需要修改已有的数组。本文介绍一种通过删除数组的特定元素来达到修改数组的目的的方法。

问题描述

假设我们有一个长度为 n 的正整数数组 arr，现在需要对该数组进行修改，使得满足以下条件：

• 对于任意的 $1\leq i\leq n-1$，删除 arr[i] 和 arr[i+1] 中第 arr[i]+arr[i+1] 小的元素，即 arr[i]+arr[i+1] 个元素之后得到的新数组与删除前的数组完全一致。
• 仅通过删除元素来修改数组，不允许进行其他操作。

现在的问题是，如何通过删除元素来实现对数组的修改。

解法

我们可以先通过计算每对相邻元素的和 arr[i]+arr[i+1]，将这些和值按照从小到大的顺序排序，并对每个和值进行编号。具体地，我们可以将其编号为整数 $1,2,\dots,m$（这里的 $m$ 表示所有相邻元素和值的个数）。例如，当 $n=4$ 时，若 arr=[1,3,5,2]，则所有相邻元素的和值分别为 4,8,7，将其从小到大排序后得到 4,7,8，因此编号分别为 1,2,3。

接下来，我们首先将数组中每对相邻元素的和值对应的编号计算出来，并用一个数组 pos 记录。具体地，对于 $1\leq i\leq n-1$，令 pos[i]=j 表示 arr[i]+arr[i+1] 的编号为 j。例如，当 arr=[1,3,5,2] 时，由于 arr[1]+arr[2]=8 的编号为 3，因此有 pos[1]=3。

我们还需要维护一个表 cnt，其中 cnt[i] 表示相邻元素的和值等于编号为 i 的和值的元素个数。例如，当 arr=[1,3,5,2] 时，cnt 数组的值为 [0,0,1,0]，其中第 3 个元素为 1，表示相邻元素和值为 8 的元素个数为 1。

我们现在的目标是，找到一个删除方案，使得删除对应的元素之后，相邻元素的和值对应的编号保持不变。为此，我们考虑从编号最小的和值开始考虑。假设当前正在考虑编号为 i 的和值，我们需要找到相邻元素和值等于 i 的一对元素，并删除其中第 i 个元素。

为了实现该目标，我们可以记 cur 为当前处理的元素位置（即数组下标）。具体地，我们从位置 1 开始，初始时有 cur=1，然后不断移动 cur，直到找到一个位置 i，满足 pos[cur]=i 且 cnt[i]>0。容易发现，此时位置 cur 和 cur+1 就是我们需要删除的元素，我们删除其中第 i 个元素。然后将 cnt[i] 减 1，表示相邻元素之和等于编号为 i 的和值的元素个数减 1。

为了保证相邻元素之和对应的编号不变，我们需要遵循上述删除方案，直到所有相邻元素的和值对应的编号都被处理完毕。由于每个相邻元素之和的编号都被处理一次，因此我们至多需要执行 $m$ 次删除操作。该删除方案可以保证删除后得到的数组满足要求。

代码实现

下面给出一个实现方案。该代码以 Python 为例，通过手写堆实现了对和值的排序操作，并使用了一个队列来记录应删除的元素。其中的 CustomHeap 类定义了一个最小堆，主要用于计算和值的编号。可能需要注意的是，在比较函数 __lt__ 中，我们需要首先按照相邻元素和值的大小进行比较，若相同则按照编号进行比较。

import heapq
from collections import deque

class CustomHeap:
    def __init__(self):
        self.heap = []

    def push(self, val):
        heapq.heappush(self.heap, val)

    def pop(self):
        return heapq.heappop(self.heap)

    def __len__(self):
        return len(self.heap)

def modify_array(arr, K):
    n = len(arr)

    # 计算相邻元素和值，并计算每个和值的编号
    heap = CustomHeap()
    for i in range(n - 1):
        s = arr[i] + arr[i + 1]
        heap.push((s, i))
    pos = [-1] * (n - 1)
    last_s = -1
    cur_pos = -1
    while heap:
        s, i = heap.pop()
        if s != last_s:
            cur_pos += 1
            last_s = s
        pos[i] = cur_pos

    # 统计每个编号的元素个数
    cnt = [0] * (cur_pos + 1)
    for p in pos:
        cnt[p] += 1

    # 用队列记录应删除的元素下标
    q = deque()
    cur = 0
    while cur < n - 1:
        i = pos[cur]
        if cnt[i] > 0:
            q.append(cur)
            cnt[i] -= 1
            cur += 1
        else:
            q.append(cur + 1)
            cur += 2

    # 删除队列中的元素
    while q:
        i = q.popleft()
        del arr[i]
    return arr

总结

通过删除数组中的元素，我们可以达到修改数组的目的。在本文中，我们介绍了一种按照相邻元素和值编号的方法来实现该目标。具体来说，我们首先将相邻元素和值按照从小到大的顺序进行编号，然后根据编号逐个删除相应的元素，并保证相邻元素和值的编号不变。这一方法可以通过手写堆，并遵循一定的删除方案来实现。