门 | GATE-CS-2005 | 第 69 题

这是一道关于电路门的题目，主要考察对逻辑门的理解和应用。

题目要求

已知一个电路由 n 个门组成，其中每个门都是 AND 门、OR 门或 NOT 门。现在，你需要编写一个程序，根据给出的电路的逻辑门连接方式，判断是否存在一些输入，使得输出为 1。

具体要求如下：

• 输入：读入一个整数 n、一个整数 m 和一个长度为 n 的字符串，其中 n 表示电路中门的数量，m 表示输入变量的数量，字符串描述了电路中门的连接方式。其中字符串中，字符 'a' 表示 AND 门，'o' 表示 OR 门，'n' 表示 NOT 门，'|' 表示门之间的连接方式。例如，在字符串 "a|o" 中，第一个门是 AND 门，第二个门是 OR 门，它们之间的连接方式是 '|'。
• 输出：如果存在一些输入，使得输出为 1，则输出字符串 'YES'，否则输出字符串 'NO'。

请注意，输入变量的数量 m 可以为 0，此时所有门的输入都是固定值。

算法解析

这是一道典型的组合计数问题。对于给定的电路门连接方式，我们可以把每个门都看成一个二元函数，输入为这个门的输入变量，输出为这个门的输出变量。如果我们已知输入变量的取值，那么我们可以通过递归的方式求得整个电路的输出变量的取值，最终判断是否存在一些输入使得输出为 1。

具体来说，我们可以定义一个递归函数，输入变量为一个长度为 m 的 01 串，表示输入变量的取值，输出变量为 0 或 1，表示电路的输出。对于每个 AND 门，我们可以将它的输入变量依次输入到递归函数中，如果输出均为 1，则该 AND 门的输出为 1。对于每个 OR 门，我们可以将它的输入变量依次输入到递归函数中，如果输出中有一个为 1，则该 OR 门的输出为 1。对于每个 NOT 门，我们直接对输入取反即可。

为了加速计算，我们可以使用记忆化搜索。具体来说，我们可以使用一个哈希表记录每个输入变量下的输出变量，如果当前的输入变量已经计算过输出变量，则可以直接返回之前计算的结果。

代码实现

以下是该问题的 Python 代码实现，时间复杂度为 O(2^m n)。其中，m 为输入变量的数量，n 为电路门的数量。代码片段如下：

def count_output(inputs, gates, memo):
    if inputs in memo:
        return memo[inputs]
    outputs = []
    for i in range(len(gates)):
        if gates[i] == 'n':
            outputs.append(1 - inputs[i])
        elif gates[i] == 'a':
            output = 1
            for j in range(len(inputs)):
                if j in left_inputs[i]:
                    output &= inputs[j]
                elif j in right_inputs[i]:
                    output &= count_output((inputs[j],), gates, memo)
            outputs.append(output)
        elif gates[i] == 'o':
            output = 0
            for j in range(len(inputs)):
                if j in left_inputs[i]:
                    output |= inputs[j]
                elif j in right_inputs[i]:
                    output |= count_output((inputs[j],), gates, memo)
            outputs.append(output)
    memo[inputs] = outputs
    return outputs


n, m, gates_str = input().split()
n = int(n)
m = int(m)
gates = list(gates_str)
left_inputs = [[] for _ in range(n)]
right_inputs = [[] for _ in range(n)]
for i in range(n):
    if i > 0 and gates[i-1] == '|':
        right_inputs[i].append(i-1)
        left_inputs[i-1].append(i)
    if gates[i] == 'a':
        left_inputs[i].extend([i-1, i-2])
    elif gates[i] == 'o':
        left_inputs[i].extend([i-1, i-2])
    elif gates[i] == 'n':
        left_inputs[i].append(i-1)
inputs = tuple([int(x) for x in input().split()])
memo = dict()
if all(count_output(inputs, gates, memo)):
    print('YES')
else:
    print('NO')

总结

本题考察了组合计数、递归和记忆化搜索等算法知识。需要注意到，逻辑门的连接方式可以使用左侧和右侧各自的输入序号来描述，这样可以方便地进行计算。另外，记忆化搜索可以有效地加速计算，可以避免重复计算的问题。