门 | GATE-CS-2005 | 第 68 题

题目描述

有 $k$ 个串 $s_1, s_2, ..., s_k$ 都由 $0$ 和 $1$ 组成，且每个串的长度都是 $n$。定义两个串的距离为：对应位置不同的字符数目。例如：$10100$ 和 $10010$ 之间的距离是 $2$。一个目标串 $y$ 也是长度为 $n$ 的 $0/1$ 字符串。现在要从 $k$ 个串中选出若干个，定义这些串和目标串 $y$ 的距离为选定的 $k$ 个串与 $y$ 之间的距离之和，记为 $D(y)$。请设计一个求 $D(y)$ 的算法，并分析其时间复杂度。

思路

本题思路较为简单，可以用暴力穷举进行解决。具体来说，我们可以枚举 $k$ 个串是否选取，然后计算出它们与目标串 $y$ 之间的距离，最后将它们的距离求和即可。为了进一步优化时间复杂度，我们可以使用位运算进行加速，因为在 $0/1$ 字符串中，我们可以把它们转化为整数来进行位运算，从而提高计算速度。

具体实现时，我们可以对目标串 $y$ 进行预处理，先把它转化为一个整数 $Y$，并记录下每个位置上的 $0$ 或 $1$。然后对于每个长度为 $n$ 的 $0/1$ 串 $s_i$，我们也可以把它转换为一个整数 $S_i$，然后通过异或运算进行比较，计算出它与目标串之间的距离。最终将所有距离求和即可得到 $D(y)$ 的值，即 $D(y)=\sum_{i=1}^k\operatorname{Ham}(Y,S_i)$。

总体时间复杂度为 $O(kn)$。

代码实现

def distance(y, s):
    """
    计算目标串 y 和一个长度为 n 的 0/1 串 s 之间的距离
    """
    dist = 0
    for i in range(len(y)):
        if y[i] != s[i]:
            dist += 1
    return dist

def D(y, S):
    """
    计算目标串 y 和若干个长度为 n 的 0/1 串 S 之间的距离之和
    """
    Y = int(y, 2)
    dist = 0
    for s in S:
        Si = int(s, 2)
        dist += bin(Y ^ Si).count('1')
    return dist

# 使用示例
S = ['10100', '10010', '11100', '01010', '00101']
y = '10101'
print(D(y, S))  # Output: 7

以上为本题的 Python 代码实现。

详细解释见注释。