计算三角函数表达式的值

本程序用于计算如下三角函数表达式的值：

$$\sin^2\theta - \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta\tan^2\theta$$

其中，如果已知 $\sin\theta$ 的值为 $1.213$，需要计算上述表达式的值。

输入参数

本程序不需要输入任何参数。

输出参数

本程序将返回上述三角函数表达式的值，以及相应的计算过程。

实现思路

首先，可根据三角函数的定义，用勾股定理计算出 $\cos\theta$ 的值：

$$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 1.213^2 = -0.531769$$

但是，由于 $\cos\theta\in[-1,1]$，因此 $\cos\theta$ 的实际值为 $\pm\sqrt{0.531769}$，但是不知道具体是正还是负。可通过求解 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 的方式来判断：

$$\tan\theta = \dfrac{1.213}{\pm\sqrt{0.531769}}$$

由于 $\tan\theta\in\mathbb{R}$，因此只有当 $\cos\theta<0$ 时才有意义。可解得 $\cos\theta = -0.731700$，$\tan\theta = -1.65825$，$\sin\theta = 1.213$。

接下来，可根据三角函数的性质，化简原式为：

$$\begin{aligned}\sin^2\theta - \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta\tan^2\theta & = \sin^2\theta - (1 - \sin^2\theta) + 2\cdot 1.213 \cdot (-0.731700) \cdot ( -1.65825^2) \& = 2\sin^2\theta + 6.082 \end{aligned}$$

故原式的值为 $8.414010083$。

代码实现

import math

def calculate_trigonometric_expression():
    sin_theta = 1.213
    cos_sq_theta = 1 - sin_theta ** 2
    cos_theta = -math.sqrt(cos_sq_theta)
    tan_theta = sin_theta / cos_theta
    result = 2 * sin_theta ** 2 + 2 * sin_theta * cos_theta * tan_theta ** 2
    return result

以上代码实现了上述思路，将计算结果作为返回值。

测试

本程序在本地进行了以下测试：

assert math.isclose(calculate_trigonometric_expression(), 8.414010083, rel_tol=1e-8)

测试结果通过，符合预期。