如果 (1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) = (1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C) 那么证明每一边都是 ± sin A sin B sin C
三角学是一门数学学科，研究直角三角形的边长和角之间的关系。三角函数，也称为测角函数、角函数或圆函数，是建立角度与直角三角形的两条边之比之间关系的函数。六个主要的三角函数是正弦、余弦、正切、余切、正割或余割。
三角角
由三角函数的比率定义的角度称为三角角。三角角代表三角函数。角度值可以在 0 – 360° 之间的任何位置。
(1_+_cos_B)(1_+_cos_C)_=_(1_%E2%80%93_cos_A)(1_%E2%80%93_cos_B)(1_%E2%80%93_cos_C)_then_prove_that_each_side_is_%C2%B1_sin_A_sin_B_sin_C_0.jpg)
直角三角形
如上图中的直角三角形所示，
- 斜边：与直角相对的边是斜边，它是直角三角形中最长的边，与90°角相对。
- 底：角 C 所在的一侧称为底。
- 垂直：考虑角度 C 的对边。
三角函数
三角函数有 6 个基本的三角函数，它们是正弦、余弦、正切、余割、正割和余切。现在让我们看看三角函数。六个三角函数如下，
- 正弦：它被定义为垂直和斜边的比率，它表示为 sin θ
- 余弦：定义为底边与斜边的比值，表示为 cos θ
- 正切：它被定义为一个角度的正弦和余弦之比。于是，切线的定义就来了。 out 为垂线与底的比值，表示为 tan θ
- 余割：它是 sin θ 的倒数，表示为 cosec θ。
- 割线：它是 cos θ 的倒数，表示为 sec θ。
- 余切：它是 tan θ 的倒数，表示为 cot θ。
根据上图，三角比是，
- Sin θ = 垂直 / 斜边 = AB/AC
- 余弦 θ = 底/斜边 = BC/AC
- 切线 θ = 垂直 / 底边 = AB/BC
- 余割 θ = 斜边 / 垂直 = AC/AB
- 割线 θ = 斜边 / 底边 = AC/BC
- 余切 θ = 底/垂直 = BC/AB
互惠身份
- Sin θ = 1/ Cosec θ 或 Cosec θ = 1/ Sin θ
- Cos θ = 1/ Sec θ 或 Sec θ = 1 / Cos θ
- Cot θ = 1 / Tan θ 或 Tan θ = 1 / Cot θ
- Cot θ = Cos θ / Sin θ 或 Tan θ = Sin θ / Cos θ
- Tan θ × Cot θ = 1
三角比值 0° 30° 45° 60° 90° Sin θ 0 1/2 1/√2 √3/2 1 Cos θ 1 √3/2 1/√2 1/2 0 Tan θ 0 1/√3 1 √3 NOT DEFINED Sec θ NOT DEFINED 2 √2 2/√3 1 Cosec θ 1 2/√3 √2 2 NOT DEFINED Cot θ NOT DEFINED √3 1 1/√3 0
互补角的恒等式是
- sin (90° – θ) = cos θ
- cos (90° – θ) = sin θ
- tan (90° – θ) = 婴儿床 θ
- 婴儿床 (90° – θ) = tan θ
- 秒 (90° – θ) = cosec θ
- cosec (90° – θ) = 秒 θ
补角的恒等式
- sin (180° – θ) = sin θ
- cos (180° – θ) = – cos θ
- tan (180° – θ) = – tan θ
- 婴儿床 (180° – θ) = – 婴儿床 θ
- 秒 (180° – θ) = – 秒 θ
- cosec (180° – θ) = – cosec θ
三角学象限
(1_+_cos_B)(1_+_cos_C)_=_(1_%E2%80%93_cos_A)(1_%E2%80%93_cos_B)(1_%E2%80%93_cos_C)_then_prove_that_each_side_is_%C2%B1_sin_A_sin_B_sin_C_1.jpg)
象限
如果 (1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) = (1 – cos A)(1 – cos B)( 1 – cos C) 那么证明每一边 = ± sin A sin B sin C。
解决方案：
(1 + cos A)(1 + cos B)(1 + cos C) = (1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)
Multiplying both sides of the equation by (1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C),
[(1 + cos A)(1 – cos A)(1 + cos B)(1 – cos B)(1 + cos C)(1 – cos C)] = [(1 – cos A)²(1 – cos B)²(1 – cos C)²]
[(1 – cos²A)(1 – cos²B)(1 – cos²C)] = [(1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)]²
sin² A sin² B sin² C = [(1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)]²
[sin A sin B sin C]² = [(1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)]²
sin A sin B sin C = (1 – cos A)(1 – cos B)(1 – cos C)
Hence proved
类似问题
问题 1：如果 sin (A – B) = 1/2，cos (A + B) = 1/2，且 0° < A + B ≤ 90°， A > B，则求 A 和 B 的值。
解决方案：
sin(A – B) = 1/2
Sin(A – B) = sin (30° ) ⇢ [sin (30° ) = 1/2]
Equate both the sides,
So, A – B = 30° ⇢ (1)
And, cos(A + B) = 1/2
⇒ cos(A + B) = cos (60° ) ⇢ [cos (60° ) = 1/2]
By equating both the sides,
A + B = 60° ⇢ (2)
Adding equation (1) and (2),
2A = 90°
⇒ A = 45°
Now, here Putting the value of A in Equation (2),
45° + B =60°
B = 15o
Hence, the value of A = 45° and B = 15°
问题 2：评估 (Sin 45° – Sin 90° + 2Cos 0°) / Tan 30° Tan 60°？
解决方案：
Here (Sin 45° – Sin 90° + 2 Cos 0°) / Tan 45° Tan 60°
As per the trigonometric values,
(Sin 45° – Sin 90° + 2 Cos0°) / Tan 45° Tan 60°
= (1/√2 – 1 + 2 × 1) / 1 × √3
= (1/√2 – 1 + 2) / √3
= (1/√2 + 1) / √3
= (1 + √2 / √2) / √3
问题3：cos 270°的精确值是多少？
解决方案：
Here cos is positive only in 1st and 4th Quadrant.
270° lies in 3rd Quadrant.
Therefore, cos(360° – θ) = – cos θ
cos(270°) = cos(360° – 90°)
cos(270°) = -cos(90°)
cos (270°) = 0 {as per the trigonometry value table}
So the exact value of cos 270° is 0.