如果 x = a sin θ + b cos θ 并且 y = a cos θ – b sin θ，则证明 x ² + y ² = a ² + b ² 。

三角学是直角三角形的角和边之间的关系。在直角三角形中，有3个角，其中一个角是直角（90°），另外两个角是锐角，有3条边。与直角相对的一侧称为斜边。根据它们之间的角度，这些边之间有 6 个比率，它们被称为三角比。

6个三角比是：

• 正弦 (sin)
• 余弦 (cos)
• 切线（棕褐色）
• 割线 (cosec)
• 正割（秒）
• 余切 (cot)

直角三角形 ACB

正弦（sin）：

角的正弦由与角和斜边相反的边的长度之比定义。对于上面的三角形，∠A和∠B都给出了正弦角的值，正弦角的定义是垂线与斜边的比值。

$SinA = \frac{P}{H}= \frac{CB}{AB}$

$SinB = \frac{P}{H}= \frac{AC}{AB}$

余弦（cos）：

角的余弦由与角和斜边相邻的边的长度之比定义。对于上面的三角形，角cos的值对于∠A和∠B都给出，cos角的定义是底边与斜边的比值。

$CosA = \frac{B}{H}= \frac{AC}{AB}$

$CosB = \frac{B}{H}= \frac{CB}{AB}$

切线（tan）：

角的正切定义为与角相对的边与与角相邻的边的长度之比。对于上述三角形，∠A和∠B都给出了角tan的值，tan角的定义是垂线与其底的比值。

$TanA = \frac{P}{B}= \frac{CB}{AC}$

$TanB = \frac{P}{B}= \frac{AC}{CB}$

余割（cosec）：

角的余割由斜边的长度与角对边的比值定义。对于上述三角形，∠A 和∠B 都给出了角度 cosec 的值，cosec 角的定义是斜边与其垂线的比值。

$CosecA = \frac{H}{P}= \frac{AB}{CB}$

$CosecB = \frac{H}{P}= \frac{AB}{AC}$

割线（秒）：

角的割线由斜边的长度与与角相邻的边和边的比值定义。对于上述三角形，∠A 和∠B 都给出了角 sec 的值，sec 角的定义是斜边与其底的比值。

$SecA = \frac{H}{P}= \frac{AB}{AC}$

$SecB = \frac{H}{P}= \frac{AB}{CB}$

余切（cot）：

角的余切定义为与角相邻的边与对角的边的长度之比。对于上述三角形，角cot的值对于∠A和∠B都给出，cot角的定义是斜边与其底的比值。

$CotA = \frac{B}{P}= \frac{AC}{CB}$

$CotB = \frac{B}{P}= \frac{CB}{AC}$

如果 x = a sin θ + b cos θ 并且 y = a cos θ –b sin θ，则证明 x ² + y ² = a ² + b ² 。

解决方案：

直角三角形 ACB

x = asinθ + bcosθ

Squaring both sides we get,

x² = (asinθ + bcosθ)²

$\therefore$x² = a²sin²θ + 2absinθcosθ + b²cos²θ ………. ( 1 )

y = acosθ – bsinθ

Squaring both sides we get,

y² = (acosθ – bsinθ)²

$\therefore$y² = a²cos²θ – 2absinθcosθ + b²sin²θ ………. ( 2 )

Adding (1) and (2), we get,

x² + y² = (a²sin²θ + 2absinθcosθ + b²cos²θ) + (a²cos²θ – 2absinθcosθ + b²sin²θ)

$\therefore$x² + y² = a²(sin²θ + cos²θ) + b²(sin²θ + cos²θ)

We know that,sin²θ + cos²θ = 1

$\therefore$x² + y² = a² + b²

Hence, Proved.

类似问题

问题 1：如果 x = acosθ 且 y = bsinθ，则 b ² x ² + a ² y ² = a ² b ²

解决方案：

x = acosθ, y = bsinθ ……….. ( 1 )

L.H.S =b²x² + a²y²

$\therefore$L.H.S = b²(acosθ)² + a²(bsinθ)² …….(From(1))

$\therefore$L.H.S = a²b²cos²θ + a²b²sin²θ

$\therefore$L.H.S = a²b²(cos²θ + sin²θ)

We know that,sin²θ + cos²θ = 1

$\therefore$L.H.S = a²b²

$\therefore$L.H.S = R.H.S

$\therefore$b²x² + a²y² = a²b²

Hence, Proved.

问题 2：如果 x = asinθ 且 y = btanθ，则证明$\frac{a^2}{x^2} − \frac{b^2}{y^2} =1$

解决方案：

x = asinθ, y = btanθ ……….. ( 1 )

$L.H.S = \frac{a^2}{x^2} − \frac{b^2}{y^2}$

$\therefore L.H.S = \frac{a^2}{(asinθ)^2} − \frac{b^2}{(btanθ)^2}$………. ( From (1) )

$\therefore L.H.S = \frac{a^2}{a^2sin^2θ} − \frac{b^2}{b^2tan^2θ}$

$\therefore L.H.S = \frac{1}{sin^2θ} − \frac{1}{tan^2θ}$

$Since, tanθ = \frac{sinθ}{cosθ}$

$\therefore L.H.S = \frac{1}{sin^2θ} − \frac{cos^2θ}{sin^2θ}$

$\therefore L.H.S = \frac{1 - cos^2θ}{sin^2θ}$

Since, sin²θ + cos²θ = 1 ⇒ sin²θ = 1 – cos²θ

$\therefore L.H.S = \frac{sin^2θ}{sin^2θ}$

$\therefore$L.H.S = 1

$\therefore$L.H.S = R.H.S

$\therefore \frac{a^2}{x^2} − \frac{b^2}{y^2} = 1$

Hence, Proved.

问题 3：证明：如果 x=asecθ + btanθ 且 y=atanθ + bsecθ，证明 x ² - y ² = a ² - b ²

解决方案：

x=asecθ + btanθ and y = atanθ + bsecθ ……….. ( 1 )

L.H.S = x² − y²

From (1), we get

L.H.S = (asecθ + btanθ)² – (atanθ + bsecθ)²

$\therefore$L.H.S = (a²sec²θ + 2absecθtanθ + b²tan²θ) – (a²tan²θ + 2absecθtanθ + b²sec²θ)

$\therefore$L.H.S = a²sec²θ + 2absecθtanθ + b²tanθ² – a²tan²θ – 2absecθtanθ – b²sec²θ

$\therefore$L.H.S = a²(sec²θ – tan²θ) – b²(sec²θ – tan²θ)

We know that, sec²θ – tan²θ =1

$\therefore$L.H.S = a²(1) – b²(1)

$\therefore$L.H.S = a² – b²

$\therefore$L.H.S = R.H.S

$\therefore$x² − y² = a² − b²

Hence, Proved.