通过3D平面的点的镜像

在三维空间中，我们可以通过某个平面对点进行镜像。这在计算机图形学中是一个非常基本的概念，在三维建模、物理引擎等领域都有广泛的应用。

点的镜像公式

设点 $P$ 关于平面 $\pi$ 的镜像点为 $P'$，则有以下公式：

$$ \overrightarrow{PP'} = 2\cdot \overrightarrow{PM} $$

其中，$M$ 为点 $P$ 到平面 $\pi$ 的垂足（即垂线与平面的交点），$\overrightarrow{PM}$ 是向量 $\overrightarrow{P}$ 和 $\overrightarrow{M}$ 的差。

这个公式是通过向量运算得到的，可见向量在计算机图形学中的重要性。

计算过程

根据上述公式，我们可以通过以下步骤计算点的镜像：

1. 计算点 $P$ 到平面 $\pi$ 的距离 $d$，并求出垂足 $M$。

2. 计算向量 $\overrightarrow{PM}$。

3. 根据公式计算向量 $\overrightarrow{PP'}$。

4. 点 $P'$ 的坐标即为点 $P$ 坐标加上向量 $\overrightarrow{PP'}$。

下面是一个简单的 Python 代码片段，实现了点的三维坐标关于一个平面的镜像：

import math
import numpy as np

def mirror_point(point, plane_normal, plane_point):
    """
    计算点的镜像点，并返回新的点的三维坐标
    Args:
        point (np.ndarray): 点的三维坐标(x, y, z)
        plane_normal (np.ndarray): 平面的法向量
        plane_point (np.ndarray): 平面上的一个点，用于确定平面
    Returns:
        np.ndarray: 镜像点的三维坐标(x', y', z')
    """
    # 计算点到平面的距离
    distance = np.abs(np.dot(plane_normal, point - plane_point))
    # 计算垂足坐标
    M = point - plane_normal * distance
    # 计算向量PM
    vector_PM = M - point
    # 计算向量PP'
    vector_PP = -2 * vector_PM
    # 计算镜像点的坐标
    point_mirror = point + vector_PP

    return point_mirror

这个代码片段中，我们使用了 NumPy 数组库，大大简化了向量的计算过程。其中，point 是需要做镜像的点的三维坐标，plane_normal 是平面的法向量，plane_point 是平面上的一个点，用于确定平面。函数返回的是镜像点的坐标。

总结

三维空间中点的镜像是计算机图形学中的一个基本概念。通过向量运算，我们可以非常容易地计算点关于一个平面的镜像点。这个概念在三维建模、物理引擎等领域都有广泛的应用，是一名计算机图形学工程师必须掌握的基本技能之一。