两个相同大小的排序数组的中位数

当我们有两个已排序的数组时，我们可以找到它们的中位数。如果两个数组的大小不同，那么中位数是第一个数组的中间元素。但是，如果两个数组的大小相同，我们需要一种特殊的方法来找到它们的中位数。

下面我们将了解如何使用二分查找算法来找到两个排序数组的中位数。

解决方法

假设我们有两个数组 nums1 和 nums2，它们的大小相等，大小为 n。我们要找到两个数组的中位数，我们可以将这两个数组合并成一个排序数组，并找到排序数组的中间元素。

我们可以使用二分查找算法来找到排序数组的中间元素。首先，我们将 nums1 和 nums2 的两个中间位置进行比较，分别为 nums1[mid] 和 nums2[mid]。比较结果如下所示：

1. 如果 nums1[mid] == nums2[mid]，那么中位数就是 nums1[mid]（或 nums2[mid]）。因为中位数只有一个，所以我们只需要返回一个中间元素。
2. 如果 nums1[mid] < nums2[mid]，那么中位数一定在 nums1[mid:] 和 nums2[:mid+1] 这样的区间中。我们可以递归地对这两个区间继续使用上述算法。
3. 如果 nums1[mid] > nums2[mid]，那么中位数一定在 nums1[:mid+1] 和 nums2[mid:] 这样的区间中。我们可以递归地对这两个区间继续使用上述算法。

下面是具体的实现代码：

def find_median_sorted_arrays(nums1, nums2):
    def find_kth(nums1, nums2, k):
        if len(nums1) > len(nums2):
            return find_kth(nums2, nums1, k)
        if not nums1:
            return nums2[k-1]
        if k == 1:
            return min(nums1[0], nums2[0])
        mid1, mid2 = min(k//2, len(nums1)), min(k//2, len(nums2))
        if nums1[mid1-1] > nums2[mid2-1]:
            return find_kth(nums1, nums2[mid2:], k-mid2)
        else:
            return find_kth(nums1[mid1:], nums2, k-mid1)
    n = len(nums1) + len(nums2)
    if n % 2 == 1:
        return find_kth(nums1, nums2, n//2+1)
    else:
        return (find_kth(nums1, nums2, n//2) + find_kth(nums1, nums2, n//2+1)) / 2.0

算法的时间复杂度为 $O(\log n)$，其中 $n$ 是两个数组的大小之和。