题目概述

这里介绍的是GATE 2020 Mock II中的第15个问题，题目名称为“门”。本题目主要考察了程序员对于递归算法的掌握程度和使用能力。

题目详解

本题目的主要内容是要求编写一个递归算法，用于计算一个给定的非负整数n二进制表示下的所有比特位中有多少个1。例如，n=10的二进制表示为1010，有2个1，故结果应为2。

解题思路

本题采用的解题思路是通过递归实现对二进制数字比特位的求解。我们发现，对于一个数字n，若其最低位为0，则其二进制比特位中有n/2个1；若其最低位为1，则其二进制比特位中有n/2+1个1。这个规律是可以通过简单的思考和归纳总结得出的。

比如说，n=10时，二进制比特位为1010，其最低位为0，因此n/2=5，其二进制比特位中有5个1。又比如说，n=11时，其二进制比特位为1011，其最低位为1，因此n/2+1=6，其二进制比特位中有6个1。若你能够掌握这个规律，那么就可以通过递归的方法来完成本题目的解答。

具体的递归算法可以这样来实现：设f(n)表示整数n的比特位中有多少个1，则有

1. 若n=0，f(n)=0；
2. 若n>0且n为奇数，f(n)=f(n/2)+1；
3. 若n>0且n为偶数，f(n)=f(n/2)。

其中，第2步比较容易理解，即对于n的最低位为1的情况，f(n)应该等于n/2的二进制比特位中的1的个数+1。因此，我们对n进行整除2运算，再递归地去计算n/2在二进制比特位中1的个数即可。而对于第3步，也很容易理解，即对于n的最低位为0的情况，f(n)应该等于n/2的二进制比特位中的1的个数。因此，我们同样对n进行整除2运算，但是不需要加1，就可以递归地去计算n/2在二进制比特位中1的个数。

代码实现

下面的代码展示的是通过Python语言实现的完整的解题代码（已经通过测试）。敬请参考。

def count_ones(n):
    """
    递归算法，用于统计一个非负整数n在其二进制比特位中的1的个数
    """
    if n == 0:
        return 0
    if n % 2 == 1:
        return count_ones(n // 2) + 1
    else:
        return count_ones(n // 2)

以上代码中，我们首先检测输入的参数n是否为0，如果是0，则返回0，这个是递归算法的出口条件。接着，我们判断n是否为奇数，如果是奇数，则递归地计算n//2在比特位中的1的个数并加1；否则，n为偶数，则递归地计算n//2在比特位中的1的个数。最终，递归算法返回的结果即为整个程序的结果。

总结

本题目考察了程序员对于递归算法的掌握和使用能力，其中重要的思路是要掌握用整除2运算计算二进制比特位中1的个数的规律。在实现中，递归算法需要注意递归出口条件和具体的递归算法实现。