笛卡尔树排序

简介

笛卡尔树（Cartesian Tree）其实是一种满足二叉搜索树性质（左子树所有节点的值小于根节点，右子树所有节点的值大于根节点）和堆性质（父节点的值小于（或大于）子节点的值）的树。对于每个笛卡尔树，都有一个可以作为其根节点的节点。因此笛卡尔树可以根据数组元素构建出来。

在笛卡尔树排序算法中，我们首先需要构建出输入数组的笛卡尔树，然后通过中序遍历得到排好序的数组。

实现

构建笛卡尔树

可以通过遍历输入数组来构建笛卡尔树。具体实现方法为：对于一个节点，选择比它值更小的数组元素作为其左子节点，比它值更大的数组元素作为其右子节点。同时，对于它的左子树和右子树，也使用同样的方法递归构建。

下面是构建笛卡尔树的 Python 代码实现：

class TreeNode:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

def build_cartesian_tree(nums):
    def build_subtree(l, r):
        if l > r:
            return None
        max_val, max_idx = float("-inf"), -1
        for i in range(l, r+1):
            if nums[i] > max_val:
                max_val, max_idx = nums[i], i
        root = TreeNode(max_val)
        root.left = build_subtree(l, max_idx-1)
        root.right = build_subtree(max_idx+1, r)
        return root
    
    return build_subtree(0, len(nums)-1)

中序遍历

通过中序遍历，我们可以得到排好序的数组。具体实现方法为：对于一个节点，先遍历左子树，再输出根节点的值，最后遍历右子树。

下面是中序遍历的 Python 代码实现：

def inorder_traversal(root):
    if root is None:
        return []
    res = []
    res += inorder_traversal(root.left)
    res.append(root.val)
    res += inorder_traversal(root.right)
    return res

笛卡尔树排序

最后，我们只需要将笛卡尔树的构建和中序遍历结合起来，就可以得到笛卡尔树排序算法。下面是 Python 代码实现：

def cartesian_sort(nums):
    root = build_cartesian_tree(nums)
    return inorder_traversal(root)

总结

笛卡尔树排序算法的时间复杂度为 O(nlogn)。它在数据量很大时表现良好，但在数据量较小时，其常数项较大。因此，在实际使用中需要根据具体情况进行抉择。

完整的 Python 代码如下：

class TreeNode:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

def build_cartesian_tree(nums):
    def build_subtree(l, r):
        if l > r:
            return None
        max_val, max_idx = float("-inf"), -1
        for i in range(l, r+1):
            if nums[i] > max_val:
                max_val, max_idx = nums[i], i
        root = TreeNode(max_val)
        root.left = build_subtree(l, max_idx-1)
        root.right = build_subtree(max_idx+1, r)
        return root
    
    return build_subtree(0, len(nums)-1)

def inorder_traversal(root):
    if root is None:
        return []
    res = []
    res += inorder_traversal(root.left)
    res.append(root.val)
    res += inorder_traversal(root.right)
    return res

def cartesian_sort(nums):
    root = build_cartesian_tree(nums)
    return inorder_traversal(root)