检查二次方程的根是否彼此倒数

在代数学中，二次方程是一种形如 $ax^2+bx+c=0$ 的方程，其中 $a,b,c$ 是常数且 $a≠0$。二次方程最多有两个根，它们可以表示为：

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

如果这两个根是彼此的倒数，即 $x_2=\frac{1}{x_1}$，那么其系数 $a,b,c$ 需要满足一定的条件。本文将介绍如何检查二次方程的根是否彼此倒数。

方法一：求判别式

通过求解判别式 $\Delta=b^2-4ac$，当 $\Delta>0$ 时，二次方程有两个不同实数根；当 $\Delta=0$ 时，二次方程有且仅有一个重根；当 $\Delta<0$ 时，二次方程有两个共轭复数根。

如果二次方程有两个不同实数根，则可以直接代入 $x_2=\frac{1}{x_1}$ 计算出二次方程系数的条件。具体来说，我们可以先求出二次方程的两个根 $x_1,x_2$，然后检查其是否满足 $x_1x_2=1$ 即可。

下面是 Python 程序实现：

import math

def check_quadratic_equation(a, b, c):
    delta = b * b - 4 * a * c
    if delta < 0:
        return False
    elif delta == 0:
        x1 = -b / (2 * a)
        return x1 != 0 and x1 == 1 / x1
    else:
        x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)
        x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)
        return x1 != 0 and x1 == 1 / x2 and x2 != 0 and x2 == 1 / x1

该函数接受三个参数 $a,b,c$，返回一个布尔型值表示二次方程的根是否彼此倒数。该函数首先求出判别式 $\Delta$，如果 $\Delta<0$，则说明二次方程无实数解，因此返回 False；如果 $\Delta=0$，则说明二次方程有一个重根，需要特判；如果 $\Delta>0$，则说明二次方程有两个不同实数根，需要检查根是否互为倒数。

方法二：利用因式分解

如果我们将二次方程 $ax^2+bx+c$ 因式分解后得到 $(x-p)(x-q)=0$，其中 $p,q$ 分别为方程的两个根。我们可以将 $p$ 和 $q$ 分别求出来，然后检查 $pq=1$ 即可。

下面是 Python 程序实现：

def check_quadratic_equation(a, b, c):
    delta = b * b - 4 * a * c
    if delta < 0:
        return False
    elif delta == 0:
        x1 = -b / (2 * a)
        return x1 != 0 and x1 == 1 / x1
    else:
        p = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)
        q = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)
        return p * q == 1

注意，这种方法和方法一一样，需要特判二次方程无实数解和有一个重根的情况。

总结

本文介绍了两种方法来检查二次方程的根是否彼此倒数，分别是求判别式和利用因式分解。这两种方法都需要特判无实数解和有一个重根的情况。总的来说，方法一更加通用，而方法二更加简洁，选择哪种方法取决于具体的场合。