向量运算

在物理学中，主要有两种类型的量——向量和标量。向量是具有与其相关的方向和大小的量，而标量是具有与其关联的唯一大小的量。标量可以使用简单的代数规则来处理，但向量的情况并非如此，它们不能以相同的方式处理。因此，有必要知道可以对这些数量执行哪些类型的操作以及可以执行多少种不同的操作。让我们详细了解其中的一些操作。

向量的数学运算

由于向量包含方向，因此应以考虑其方向的方式处理这些量。例如，代数的基本规则通常不适用于向量——在大多数情况下，简单地将两个向量的大小相加会给出错误的答案。以下列表是物理领域中对向量执行的一些常见操作的列表：

1. 两个向量的加法/减法。
2. 向量与标量的乘法。
3. 两个向量的乘积：
   • 点积
   • 交叉产品

向量的加法

向量不能通过通常的代数规则相加。在添加两个向量时，必须考虑向量的大小和方向。三角定律用于将两个向量相加，下图显示了两个向量“a”和“b”以及它们相加后的结果。向量加法遵循交换性质，这意味着合成向量与两个向量相加的顺序无关。

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ ⇢（交换性质）

向量加法三角定律

考虑上图中给出的向量。线PQ代表向量“p”，QR代表向量“q”。线 QR 表示合成向量。 AC的方向是从A到C。

线 AC 代表，

$\vec{p} + \vec{q}$

合成向量的大小由下式给出，

$\sqrt{|p|^2 + |q|^2 + 2|p||q|cos(\theta)}$

这$\theta$表示两个向量之间的夹角。设 \phi 为合成向量与向量 p 所成的角度。

$tan(\phi) = \frac{qsin(\theta)}{p + qcos(\theta)}$

向量与标量的乘法

将向量 a 与常数标量 k 相乘得到一个向量，其方向相同，但大小改变了 k 倍。该图显示了在乘以常数 k 之后和之前的向量。用数学术语来说，这可以重写为，

$|k\vec{v}| = k|\vec{v}|$

如果 k > 1，则向量的大小会增加，而当 k < 1 时，向量的大小会减小。

向量的乘积

向量可以相乘，但不能分开。在乘法的情况下，基本上有两种乘法——标量和向量。标量乘法（也称为点积）是一种产生标量的乘法。向量乘法（也称为叉积）是一种产生向量的乘法。向量积用于定义其他派生向量。

点积

考虑两个向量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$  .这两个向量的标量积由等式定义，

$\vec{A}.\vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|cos(\theta)$

这里， θ是两个向量之间的角度。

如果向量由它们的分量给出。例如 a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k 和 b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k。在这种情况下，点积由下式给出，

ab = a ₁ b ₁ i + a ₂ b ₂ j + a ₃ b ₃ k

矢量产品

考虑两个向量  \vec{A} 和 \vec{B} 。这两个向量的向量积表示为$\vec{A} \times \vec{B}$ .这个向量的方向垂直于两个向量。该向量的大小由下式给出，

$|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}||\vec{B}|sin(\theta)$

这里， θ是两个向量之间的角度。

右手定则用于从叉积确定结果向量的方向。请注意，与加法和点积不同，向量积本质上不是可交换的。

如果向量由它们的分量给出。例如 a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k 和 b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k。在这种情况下，叉积由下式给出，

 $\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \\$

示例问题

问题 1：一个向量由下式给出，v = 2i + j。求向量按常数 0.4 缩放时的大小。

回答：

for a vector, v = ai + bj

|v| = $\sqrt{a^2 + b^2}$

0.4|v| = |0.4v| 

a = 2, b = 1

|0.4v|

⇒ |0.4(2i + j)| 

⇒ |0.8i + 0.4j| 

|v| = $\sqrt{0.8^2 + 0.4^2}$

⇒ |v| = $\sqrt{0.64 + 0.16}$

⇒ |v| = √0.8

问题 2：大小为 5 和 10 的两个向量。这些向量之间的夹角为 60°。求结果向量的大小。

回答：

Let the two vectors be given by p and q. Then resultant vector “r” is given by, 

$|r| = \sqrt{|p|^2 + |q|^2 + 2|p||q|cos(\theta)}$

|p| = 5, |q| = 10 and $\theta = 60^o$

$|r| = \sqrt{|p|^2 + |q|^2 + 2|p||q|cos(\theta)}$

⇒ $|r| = \sqrt{|5|^2 + |10|^2 + 2|5||10|cos(60)}$

⇒ $|r| = \sqrt{|5|^2 + |10|^2 + (10)(5)}$

⇒ $|r| = \sqrt{25 + 100 + 50}$

⇒ $|r| = \sqrt{175}$ 

问题 3：大小为 4 和 4 的两个向量。这些向量之间的夹角为 60°。求合成向量的大小和合成向量所成的角度。

回答：

Let the two vectors be given by p and q. Then resultant vector “r” is given by, 

$|r| = \sqrt{|p|^2 + |q|^2 + 2|p||q|cos(\theta)}$

|p| = 4, |q| = 4 and $\theta = 60^o$

$|r| = \sqrt{|p|^2 + |q|^2 + 2|p||q|cos(\theta)}$

⇒ $|r| = \sqrt{|4|^2 + |4|^2 + 2|4||4|cos(60)}$

⇒ $|r| = \sqrt{16 + 16 + 2|4||4|cos(60)}$

⇒ $|r| = \sqrt{48}$

⇒ |r| = 4√3

angle made by the resultant, 

$tan(\phi) = \frac{4sin(60)}{4 + 4cos(60)}$

⇒ $tan(\phi) = \frac{2\sqrt{2}}{4 + 2}$

⇒$tan(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{3}$

⇒ $\phi = tan{-1}(\frac{\sqrt{2}}{3})$

问题 4：两个向量由下式给出，a = 2i + j + k 和 b = i + j + k。求这两个向量的点积。

回答：

Given: 

a = 2i + j + k 

b = i + j + k 

a.b 

⇒ (2i + j + k ).(i + j + k)

⇒ 2.1  + 1.1 + 1.1 

⇒ 4 

问题 5：两个向量由下式给出，a = 2i + j + k 和 b = i + j + k。求这两个向量的叉积。

回答：

Given: 

a = 2i + j + k 

b = i + j + k 

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \\ = \hat{i}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \hat{j}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \hat{k}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ = -\hat{j}(2.1 - 1.1) + \hat{k}(2.1 - 1.1) \\ = -\hat{j} + \hat{k}$