找到系列3、12、29、54、86、128、177、234的Nth项

问题背景

根据给出的系列数，我们需要编写一个程序，计算出该序列的第 Nth 项是多少。

解决方案

规律分析

通过观察这个数列，我们可以发现这个数列并不是斐波那契数列，但是每两项之间的差值具有如下规律：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, ...，即从第二项开始每项都比前面一项多1，第五项比前面一项多2，第六项比前面一项多3，第七项比前面一项多3…以此类推，形成了一定的规律。

根据这个规律，我们就可以通过简单的计算求出任意一项的值。

实现步骤

为了实现这个程序，我们可以利用循环或递归的方法来计算这个数列。

方法一：循环

def find_nth_term(n):
    if n < 1:
        return -1
    elif n == 1:
        return 3
    elif n == 2:
        return 12

    a, b, c, d = 3, 12, 29, 54
    for i in range(3, n + 1):
        e = c + d - b + a + i - 2
        a, b, c, d = b, c, d, e

    return e

我们先判断一些边界条件，然后在循环中计算出第 n 项的值。

方法二：递归

def find_nth_term(n):
    if n < 1:
        return -1
    elif n == 1:
        return 3
    elif n == 2:
        return 12
    elif n == 3:
        return 29
    elif n == 4:
        return 54
    else:
        return find_nth_term(n - 1) + find_nth_term(n - 2) - find_nth_term(n - 3) + find_nth_term(n - 4) + n - 4

我们递归地求出第 n 项的值，直到我们到达第四项时停止递归，并使用前面四项的值来计算第 n 项的值。

性能分析

• 空间复杂度：两种方法的空间复杂度均为 O(1)。
• 时间复杂度：两种方法的时间复杂度均为 O(n)。

总结

通过观察并分析数列规律，我们可以找到一种比较简单的方法来计算任意一项的值。如果需要计算多次该数列的某一项，我们可以将前面的项计算结果保存下来，以提高程序的性能。