求和公式

在数学中，求和是任何数字序列的基本加法，称为加数或加数；结果是它们的总和或总数。在数学中，数字、函数、向量、矩阵、多项式，一般来说，任何类型的数学对象的元素都可以与称为加法/求和的运算相关联，该运算表示为“+”。

显式序列的总和表示为一连串的加法。例如，(1, 3, 4, 7) 的求和可以以 1 + 3 + 4 + 7 为基数，上述记法的结果是 15，即 1 + 3 + 4 + 7 = 15。因为加法运算是结合和交换，在列出系列/序列时不需要括号，并且无论加法的顺序如何，结果都将是相同的。

什么是求和？

Summation or sigma (∑) notation is a method used to write out a long sum in a concise way. This notation can be attached with any formula or function.

For example _i=1∑¹⁰ (i) is a sigma notation of addition of finite sequence 1 + 2 + 3 + 4…… + 10 where the first element is 1 and last element is 10.

在哪里使用求和？

Summation notation can be used in various field of mathematics like:

• Sequence in series
• Integration
• Probability
• Permutation and Combination
• Statistics 

Note: A summation is a short form of repetitive addition. We can also replace summation with a loop of addition.

求和的性质

物业 1

_i=1∑ⁿ c = c + c + c + …. + c (n) times = nc 

例如：求_i=1 ∑ ⁴ c 的值。

利用性质 1，我们可以直接计算出_i=1 ∑ ⁴ c 的值为 4×c = 4c。

属性 2

_c=1∑ⁿ kc = (k×1) + (k×2) +  (k×3)  + …. + (k×n) …. (n) times = k × (1 + … + n)  = k  _c=1∑ⁿ c

例如：求_i=1 ∑ ⁴ 5i 的值。

通过使用属性 2 和 1，我们可以直接计算_{i= 1} ∑ ⁴ 5i 的值为 5 × _i=1 ∑ ⁴ i = 5 × ( 1 + 2 + 3 + 4) = 50。

财产 3

_c=1∑ⁿ (k+c) = (k+1) + (k+2) +  (k+3)  + …. + (k+n) …. (n) times = (n × k) +  (1 + … + n)  = nk + _c=1∑ⁿ c

例如：求_i=1 ∑ ⁴ (5+i) 的值。

通过使用属性 2 和 3，我们可以直接计算_i=1 ∑ ⁴ (5+i) 的值为 5×4 + _i=1 ∑ ⁴ i = 20 + ( 1 + 2 + 3 + 4) = 30。

属性 4

_k=1∑ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1∑ⁿ f(k) + _k=1∑ⁿ g(k)

例如：求_i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) 的值。

通过使用性质 4，我们可以直接计算_i=1 ∑ ⁴ (i + i ² ) 的值_i=1 ∑ ⁴ i + _i=1 ∑ ⁴ i ² = ( 1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 4 + 9 + 16) = 40。

使用求和的一些标准公式

• Sum of first n natural numbers : (1+2+3+…+n) = _i=1∑ⁿ (i) = [n ×(n +1)]/2
• Sum of square of first n natural numbers : (1²+2²+3²+…+n²) = _i=1∑ⁿ (i²) = [n ×(n +1)× (2n+1)]/6
• Sum of cube of first n natural numbers : (1³+2³+3³+…+n³) = _i=1∑ⁿ (i³) = [n² ×(n +1)²)]/4
• Sum of first n even natural numbers : (2+4+…+2n) = _i=1∑ⁿ (2i) = [n ×(n +1)]
• Sum of first n odd natural numbers : (1+3+…+2n-1) = _i=1∑ⁿ (2i-1) = n²
• Sum of square of first n even natural numbers : (2²+4²+…+(2n)²) = _i=1∑ⁿ (2i)² = [2n(n + 1)(2n + 1)] / 3
• Sum of square of first n odd natural numbers : (1²+3²+…+(2n-1)²) = _i=1∑ⁿ (2i-1)² = [n(2n+1)(2n-1)] / 3
• Sum of cube of first n even natural numbers : (2³+4³+…+(2n)3) = _i=1∑ⁿ (2i)³ = 2[n(n+1)]²
• Sum of cube of first n odd natural numbers : (1³+3³+…+(2n-1)³) = _i=1∑ⁿ (2i-1)³ = n²(2n² – 1)

示例问题

问题 1：使用求和公式求前 10 个自然数的和。

解决方案：

Using the summation formula for sum of n natural number _i=1∑ⁿ (i) = [n ×(n +1)]/2

We have sum of first 10 natural numbers =  _i=1∑¹⁰ (i) = [10 ×(10 +1)]/2 = 55

问题 2：使用求和公式求 10 个大于 5 的第一个自然数之和。

解决方案：

According to the question:

The sum of 10 first natural numbers greater than 5 =  _i=6∑¹⁵ (i) 

=  _i=1∑¹⁵ (i) –  _i=1∑⁵ (i) 

= [15 × 16 ] / 2 – [5 × 6]/2

= 120 – 30 

= 90

问题 3：求给定有限序列 1 ² + 2 ² + 3 ² + … 8 ²的和。

解决方案：

Given sequence is 1² + 2² + 3² + … 8² , it can be written as  _i=1∑⁸ i² using the property/ formula of summation

_i=1∑⁸ i² = [8 ×(8 +1)× (2×8 +1)]/6 = [8 × 9 × 17] / 6 

= 204

问题 4：化简_c=1 ∑ ⁿ kc。

解决方案：

Given summation formula = _c=1∑ⁿ kc

= (k×1) + (k×2) + …… + (k×n) (n terms)

= k (1 + 2 + 3 +….. + n)

_c=1∑ⁿ kc = k _c=1∑ⁿ c

问题 5：简化和评估 x ₌₁ ∑ ⁿ (4+x)。

解决方案：

Given summation is  _x=1∑ⁿ (4+x)

As we know that _c=1∑ⁿ (k+c) = nk + _c=1∑ⁿ c

Given summation can be simplified as,

4n + _x=1∑ⁿ (x)

问题 6：化简_x=1 ∑ ⁿ (2x+x ² )。

解决方案：

Given summation is  _x=1∑ⁿ (2x+x²).

as we know that _k=1∑ⁿ (f(k) + g(k)) = _k=1∑ⁿ f(k) + _k=1∑ⁿ g(k)

given summation can be simplified as _x=1∑ⁿ (2x) + _x=1∑ⁿ (x²).