行波的速度

一般来说，地球上几乎所有的材料和物体都具有弹性结合力。当身体被压缩或释放时，这些弹力开始作用，系统的一个部分的运动会影响其他部分。因此，系统一部分的运动也会影响系统的其他部分，从而产生以波的形式穿过整个系统的扰动。例如，每当将鹅卵石扔到水中时，就会产生波浪，并且它们会向各个方向传播。这里的目标是研究这些行波并更好地理解它们。

波浪

波是在没有物质实际转移的情况下移动的实际扰动。这些波传输能量，干扰模式具有从一个点传播到另一个点的信息。我们日常生活中的所有通信，例如电话信号、互联网，实际上都是通过不同媒介传播到用户的信息波。这些波可以根据它们的传播方式分为两种不同的类别——

横波——介质中的粒子垂直于波的运动方向振荡。

纵波——介质的粒子沿着波的运动传播方向振荡。

波速

由于介质的粒子在波中来回振荡，这些波可以用类似于简谐运动 (SHM) 的三角函数在数学上进行描述。为方便起见，波被认为是横波，因此如果介质成分的位置用 x 表示，则从平衡位置的位移可以用 y 表示。那么，正弦波可以表示为，

y(x, t) = Asin(kx – ω t)

假设波在移动时保持其形状。对于一个固定点，波必须有一个正弦函数的常数参数。因此，

kx – ω t = 常数

因此，将其与时间进行微分以找出速度。

$\frac{d}{dt}(kx - ωt) = \frac{d}{dt}(constant) \\ = k\frac{dx}{dt} - \omega = 0 \\ = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k}$

这个方程代表行波的速度。让我们考虑一些特殊情况，

横波在拉伸字符串上的速度

在拉伸字符串的情况下，波速取决于两个因素——每单位长度的线性质量密度字符串的张力。每单位长度的线性质量密度被定义为字符串的每单位长度的质量。假设波浪中的张力为“T”。然后，波的速度由下式给出，

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

空气中声波的速度

众所周知，声音在空气中以压缩和稀疏的形式传播。决定任何介质中压缩和稀疏程度的属性称为体积模量（B）。它是由，

$B = - \frac{\Delta P}{\frac{\Delta V}{V}}$

上述术语表示在有限值下改变压力时体积有多少变化。这$\frac{\Delta V}{V}$表示改变压力时体积的分数变化$\Delta P$ .

因此，在介质中传播时的声速由下式给出，

$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$

其中rho，代表介质的密度。

示例问题

问题 1：找出波在其中传播得更快的介质：

(1) 氢气

(2) N ₂

(3) 他

(4) O ₂

回答：

The speed of the wave travelling in a medium is given by,

$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$

Notice that the speed of the wave is inversely proportional to the density of the medium. 

Out of all the given options, the molecular mass of H₂ is the least for the equal volumes of gases. Thus, density for this medium is the least. 

Therefore, the waves will travel fastest in the H₂_. 

Hence, answer is (1). 

问题 2：求波在张力为 T = 50N 且质量密度为 500g/m 的拉伸字符串上传播的速度。

回答：

The speed of the wave traveling in a string is given by, 

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Here, T = 50N and μ = 500g/m. 

Substituting the values in the equation, 

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

⇒ $v = \sqrt{\frac{50}{0.5}}$

⇒ v = √100 

⇒ v = 10 m/s. 

问题 3：求波在张力为 T = 100N 且质量密度为 2Kg/m 的拉伸字符串上传播的速度。

回答：

The speed of the wave traveling in a string is given by, 

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

Here, T = 100N and μ = 2kg/m. 

Substituting the values in the equation, 

$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$

⇒ $v = \sqrt{\frac{100}{2}}$

⇒ v = √50 

⇒ v = 5√2 m/s.

问题 4：求波在体积模量 B 为 1.01 × 10 ⁵ N/m ²且密度为 1.29 Kg/m ³的介质中传播的速度。

回答：

The speed of the wave travelling in a medium is given by,

$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ 

Here, B = 1.01 × 10⁵ N/m² and ρ = 1.29kg/m. 

Substituting the values in the equation, 

$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$

⇒ $v = \sqrt{\frac{1.01 \times 10^5}{1.29}}$

⇒ v = 280 m/s

问题 5：求波在体积模量 B 为 6 × 10 ⁶ N/m ²且密度为 1.5 Kg/m ³的介质中传播的速度。

回答：

The speed of the wave travelling in a medium is given by,

$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$ 

Here, B = 6 × 10⁶ N/m² and ρ = 1.5 kg/m. 

Substituting the values in the equation, 

$v = \sqrt{\frac{B}{\rho}}$

⇒ $v = \sqrt{\frac{6 \times 10^6}{1.5}}$

⇒ v = 400 m/s