从分别平行于 X 和 Y 轴的 M 和 N 条直线上计算可能的正方形

在平面直角坐标系中，给定平行于 X 和 Y 轴的 M 条和 N 条直线，求可能的正方形数目。

一个正方形必须满足以下两个条件：

1. 所有四个顶点都在直线上；

2. 所有边都平行于坐标轴。

算法

这是一种暴力算法：枚举正方形的顶点，检查它是否在直线上并且满足边平行于坐标轴。

具体地，我们可以枚举正方形的左下角顶点 (x1, y1) 和右上角顶点 (x2, y2)。然后，我们可以检查点 (x1, y1) 是否在垂直于 X 轴的某条直线上，以及是否在垂直于 Y 轴的某条直线上。同样地，我们可以检查顶点 (x2, y2) 是否也在直线上。

然后，我们检查中间的两条边是否平行于坐标轴：边 (x1, y1) 到 (x1, y2) 和边 (x1, y1) 到 (x2, y1)。我们可以通过检查 x1 = x2 或 y1 = y2 来确定这两条边是否平行于坐标轴。如果这两条边都平行于坐标轴，则正方形有效。

最后，我们计算所有可能的左下角和右上角顶点的组合。

示例代码

def countSquares(m: int, n: int) -> int:
    count = 0
    for x in range(m):
        for y in range(n):
            for i in range(1, min(m - x, n - y) + 1):
                if isSquare(x, y, x + i - 1, y + i - 1):
                    count += 1
    return count

def isSquare(x1: int, y1: int, x2: int, y2: int) -> bool:
    return (isOnX(x1, y1, x2, y2) and isOnY(x1, y1, x2, y2) and isParallelX(x1, y1, x2, y2) and isParallelY(x1, y1, x2, y2))

def isOnX(x1: int, y1: int, x2: int, y2: int) -> bool:
    for y in range(y1, y2 + 1):
        if not ((x1, y) in linesX and (x2, y) in linesX):
            return False
    return True

def isOnY(x1: int, y1: int, x2: int, y2: int) -> bool:
    for x in range(x1, x2 + 1):
        if not ((x, y1) in linesY and (x, y2) in linesY):
            return False
    return True

def isParallelX(x1: int, y1: int, x2: int, y2: int) -> bool:
    return x1 == x2 or all((x, y1) not in linesY for x in range(x1, x2 + 1)) and all((x, y2) not in linesY for x in range(x1, x2 + 1))

def isParallelY(x1: int, y1: int, x2: int, y2: int) -> bool:
    return y1 == y2 or all((x1, y) not in linesX for y in range(y1, y2 + 1)) and all((x2, y) not in linesX for y in range(y1, y2 + 1))

其中，countSquares 函数计算可能的正方形数目，而 isSquare 函数用于检查给定的顶点是否构成一个有效的正方形。isOnX 和 isOnY 函数用于检查正方形的左边和下边是否在垂直于 X 轴和 Y 轴的直线上。isParallelX 和 isParallelY 函数用于检查正方形的两条中间边是否平行于坐标轴。

总结

这个算法的时间复杂度为 $O(m^3 n^3)$，它非常慢。但是，它的实现非常简单，易于理解和实现。如果数据集较小，这可能是一个可接受的解决方案。