使用细分树查询给定索引范围内最大对和

简介

细分树（Subdivision Tree）是一种二叉树的形式，它能够帮助我们在 $O(\log n)$ 的时间内查询一些复杂的问题。或者说，它是一种加速算法的数据结构。

在这里，我们将介绍如何使用细分树来查询一个数字序列的最大对和。具体地，我们将会介绍一种在线算法，它可以在输入数字序列的同时，为该数字序列构建一棵细分树。之后，我们就可以使用这棵细分树来查询给定索引范围内的最大对和。

方法

细分树

细分树是一棵二叉树，它的每个节点代表一个数字序列的子区间。细分树的根节点代表整个数字序列，每个叶子节点代表一个单独的数字。

细分树的构造方式是递归的，我们每次选择当前数字序列的中位数，然后以它为基准将数字序列一分为二。接着，我们递归地构造数字序列的左半部分和右半部分所对应的子区间。

最大对和

我们定义一个数字序列的最大对和为它的两个不相交的子区间所包含数字的和的最大值。具体地，我们可以使用以下方法预处理数字序列的最大对和。

首先，我们将数字序列逆序，然后使用动态规划的方法计算出数字序列从左向右的最大子段和。接着，我们再将数字序列逆序回来，再使用动态规划的方法计算出数字序列从右向左的最大子段和。最终，我们扫描整个数字序列，计算出每个子区间的最大对和即可。具体而言，对于一个子区间 $[l,r]$，我们可以将它拆分为两个不相交的子区间 $[l,i]$ 和 $[i+1,r]$，其中 $l \leq i < r$。它们的最大对和为左半部分的右端点到右半部分的左端点之间的数字之和，再加上左半部分和右半部分各自的最大子段和。

在细分树上进行查询

使用细分树进行查询的关键在于如何将细分树建立起来，并保存数字序列每个子区间的最大对和。具体而言，我们可以对于细分树的每个节点，使用上述预处理方法计算出它所代表的数字序列的最大对和。接着，我们就可以使用细分树完成查询任务了。

具体而言，对于待查询区间 $[l,r]$，我们找到细分树的最小的子区间 $[L,R]$，满足 $[l,r] \subseteq [L,R]$。然后，我们将待查询区间 $[l,r]$ 拆分成两个不相交的子区间 $I_1$ 和 $I_2$，其中 $I_1=[l,L-1]$，$I_2=[R+1,r]$ 或 $I_2=[L,R]$。它们的最大对和分别为 $[l,L-1]$ 区间的最大右子段和加上 $[L,R]$ 区间的最大对和，以及 $[L,R]$ 区间的最大对和加上 $[R+1,r]$ 区间的最大左子段和。我们可以在递归地查找子区间的过程中，使用细分树的一些基本操作，如查询区间最大/最小值等来计算这些值。最终，待查询区间的最大对和即是这些值的最大值。

代码实现

下面是使用 Python 实现最大对和查询的代码片段。

def build_tree(nums):
    n = len(nums)
    if n == 1:
        return (nums[0], nums[0], nums[0], nums[0])
    else:
        mid = n // 2
        left = build_tree(nums[:mid])
        right = build_tree(nums[mid:])
        return (
            max(left[0], left[3] + right[0], left[2] + right[2]),
            max(left[1], left[0] + right[1]),
            max(right[2], right[3] + left[2], right[1] + left[1]),
            left[3] + right[3]
        )

def query(l, r, node, nl, nr):
    if nl >= l and nr <= r:
        return node
    else:
        mid = (nl + nr) // 2
        if l > mid:
            return query(l, r, node[2:], mid+1, nr)
        elif r <= mid:
            return query(l, r, node[:2], nl, mid)
        else:
            left = query(l, r, node[:2], nl, mid)
            right = query(l, r, node[2:], mid+1, nr)
            return (
                max(left[0], left[3] + right[0], left[2] + right[2]),
                max(left[1], left[0] + right[1]),
                max(right[2], right[3] + left[2], right[1] + left[1]),
                left[3] + right[3]
            )

nums = [1, 2, 3, 4, 5]
tree = build_tree(nums)
print(query(1, 4, tree, 0, len(nums)-1)[0])

总结

在这里，我们介绍了一种使用细分树查询最大对和的方法。具体而言，我们使用细分树将一个数字序列分成了一些子区间，并预处理出了每个子区间的最大对和信息。随后，我们可以用细分树上的操作，如区间查询最大值等，来计算任意给定区间的最大对和。

当然，这只是本算法的一个简单实现，实际上，我们还可以通过一些优化技巧，如记忆化缓存，来减少重复计算，提高计算效率。