使用细分树查询给定索引范围内的值在 A 到 B 范围内的元素

细分树是一种用于高效维护区间查询问题的数据结构。它能够处理动态的、可修改区间操作，并且能够支持各种类型的查询。本文将介绍如何使用细分树查询给定索引范围内的值在 A 到 B 范围内的元素。

定义

细分树是一种递归的数据结构，它将一个区间分成若干个子区间，并在每个子区间上递归构建细分树。这样就形成了一棵二叉树，每个节点对应一个区间，以节点为根的子树代表了该区间对应的信息。

实现

细分树的实现依赖于一种递归算法，我们可以使用一个数组来表示细分树。数组的下标可以代表细分树节点的编号，而数组元素代表该节点的信息（如区间最大/最小值、区间和等）。下图展示了一棵细分树及其对应的数组表。

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细分树的查询和修改操作都可以通过对细分树的遍历来完成，下图展示了对一棵细分树进行前序遍历的结果。

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对于本次查询，我们可以通过细分树节点信息来判断该节点代表的区间是否满足条件 A <= 区间内的元素 <= B 。如果该节点代表的区间完全包含在 A 到 B 范围内，那么该节点对答案有贡献，并继续递归其左右子节点；如果该节点代表的区间完全不在 A 到 B 范围内，那么不需要继续递归其左右子节点；如果该节点代表的区间部分在 A 到 B 范围内，那么需要同时递归其左右子节点。

下面是查询函数的代码：

def query(l, r, a, b, k):
    # k 代表当前节点编号
    if (l > r) or (a > b):
        return 0
    
    if (l >= a) and (r <= b):
        if tree[k] >= A and tree[k] <= B:
            return tree[k]
        else:
            return 0
    
    mid = (l + r) // 2
    
    return max(query(l, mid, a, b, 2*k), query(mid+1, r, a, b, 2*k+1))

其中，l 和 r 代表当前节点对应区间的左右端点，a 和 b 代表查询的区间，k 代表当前节点编号。tree[k] 代表当前节点对应的信息，例如区间最大/最小值等。函数的返回值即为在 A 到 B 范围内的元素的最大值。

分析

细分树的查询和修改时间复杂度均为 O(log n)，其中 n 为区间长度。由于细分树是一种基于递归的数据结构，因此它所使用的空间也是 O(n log n) 的。

总结

细分树是一种递归的数据结构，它能够高效地处理区间查询问题。本文介绍了如何使用细分树查询给定索引范围内的值在 A 到 B 范围内的元素，并实现了对应的查询函数。细分树的查询和修改时间复杂度均为 O(log n)，运用灵活，可以适用于多种场景。