细分树 | (给定范围的XOR)

什么是细分树？

细分树是一种基于分治思想的数据结构，它可以用来解决各种区间查询问题。细分树的核心思想是将一个区间分成若干个子区间，然后递归地对这些子区间建立细分树。最终，细分树中的每个节点都表示一个区间，并且每个区间都被表示成若干个子区间的异或和。

细分树如何求解区间异或和？

对于给定的区间 [L, R]，我们可以将它分成两个子区间 [L, mid] 和 [mid+1, R]。然后递归地对这两个子区间建立细分树，并计算它们的异或和 XOR1 和 XOR2。最终，[R, L] 的异或和就等于 XOR1 XOR XOR2。

int query(int u, int l, int r, int ql, int qr) {
    if (l > qr || r < ql) {
        return 0;
    } else if (l >= ql && r <= qr) {
        return tree[u];
    } else {
        int mid = (l + r) / 2;
        int xor1 = query(u * 2, l, mid, ql, qr);
        int xor2 = query(u * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr);
        return xor1 ^ xor2;
    }
}

如何实现区间异或更新？

对于给定的区间 [L, R]，我们先查询出它的异或和 XOR。然后将每个元素 XOR 上一个值 X，再查询一次区间异或和 XOR1。则 [L, R] 的异或和即为 XOR XOR1。

void update(int u, int l, int r, int ql, int qr, int x) {
    if (l > qr || r < ql) {
        return;
    } else if (l >= ql && r <= qr) {
        tree[u] ^= x;
    } else {
        int mid = (l + r) / 2;
        update(u * 2, l, mid, ql, qr, x);
        update(u * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr, x);
        tree[u] = tree[u * 2] ^ tree[u * 2 + 1];
    }
}

如何实现区间异或修改？

本问题可以看成区间 XOR 更新，具体实现方法与区间 XOR 更新一样，只需要将每个元素 XOR 上新值 X 即可。

细分树的应用

细分树可以应用在各种区间查询问题中，例如区间最大值、区间和等等。它的时间复杂度为 O(log N)，空间复杂度为 O(N)。细分树还有很多变种，例如逆序对问题、带修区间最大子段和等等。