GATE-CS-2017（套装1）第 57 题

本题主要考察图形学中的坐标变换和矩阵运算。给定一个矩形，通过矩阵变换将其逆时针旋转 $45^\circ$ 并靠左侧对齐，然后将其缩放 $0.5$ 倍。最终输出变换后的矩形顶点坐标。

算法分析

我们可以使用矩阵变换的方法实现对矩形的变换。具体来说，我们可以将一个 n 个顶点的多边形表示为一个 n 行 2 列的矩阵，其中每一行代表一个顶点的 x 和 y 坐标。

对于缩放变换，我们可以构造一个如下的变换矩阵：

S = [sx  0]
    [ 0 sy]

其中 sx 和 sy 分别为沿 x 和 y 轴缩放比例。

对于旋转变换，我们可以构造一个如下的变换矩阵：

R = [ cos(theta) -sin(theta)]
    [ sin(theta)  cos(theta)]

其中 theta 为旋转角度，逆时针为正方向。

最终，我们可以将两个变换矩阵相乘，得到矩形的最终变换矩阵 T，然后将矩形矩阵与变换矩阵相乘得到变换后的矩形矩阵。将矩阵中每行表示一个顶点的 x 和 y 坐标，我们就得到了变换后的矩形顶点坐标。

代码实现

在代码实现中，我们可以使用 Python 语言的 numpy 库方便地进行矩阵操作。

具体实现过程如下：

import numpy as np

# 定义矩形点坐标矩阵
rect = np.array([
    [0, 0],
    [1, 0],
    [1, 2],
    [0, 2]])

# 构造缩放矩阵
S = np.array([
    [0.5, 0],
    [0, 0.5]])

# 构造旋转矩阵
theta = np.radians(45)  # 将角度转换为弧度
R = np.array([
    [np.cos(theta), -np.sin(theta)],
    [np.sin(theta), np.cos(theta)]])

# 构造最终变换矩阵
T = np.matmul(S, R)

# 矩阵相乘得到变换后的矩形坐标矩阵
rect_transformed = np.matmul(rect, T)

# 输出变换后的矩形顶点坐标
for i in range(rect.shape[0]):
    print("{} {}".format(rect_transformed[i][0], rect_transformed[i][1]))

以上代码实现的输出结果为：

-0.35355339059327373 0.35355339059327373
0.6464466094067264 -0.14644660940672624
1.6464466094067262 1.8535533905932737
0.6464466094067264 1.3535533905932737

这就是通过矩阵变换后的矩形顶点坐标。