📅 最后修改于: 2023-12-03 15:11:03.209000 🧑 作者: Mango
在解决某些二次曲线方程的问题时，我们可能需要将二次项中的 xy 项去掉。这时，可以通过将坐标系进行旋转的方式来实现。
具体步骤如下：
| 9 -√3 |
| -√3 3 | * | x | = | 0 |
由于该矩阵是对称矩阵，因此可以直接进行特征值分解。具体求解过程略。
得到特征值 λ₁ = 6 和 λ₂ = 3，并相应地得到特征向量 v₁ = (1, √3) 和 v₂ = (-√3, 1)。
可以将特征向量作为新坐标系的坐标轴，即可将原本的 xy 坐标系进行旋转。
旋转的角度比较复杂，可以使用反正切函数等数学工具求解。不过，由于题目中已经给出了方程中的 xy 项，因此可以直接求出旋转的角度。
以特征向量 v₁ 为例，该向量与原本的 x 轴之间的夹角即为旋转角度。可以使用向量点积等知识求解：
cosθ = v₁ * [1, 0] / (|v₁| * |[1, 0]|) ≈ 0.866
θ ≈ cos⁻¹(0.866) ≈ 30°
因此，旋转角度约为 30°。
以特征向量 v₁ 为例，将方程转化为新坐标系下的形式：
9'x'^2 + 3'y'^2 = 0
其中，新坐标系统下的坐标为 (x', y')，并且 (x, y) = (x', y') * R，其中 R 是旋转矩阵。
由于旋转矩阵可以表示为：
R = | cosθ sinθ |
| -sinθ cosθ |
因此，对于特征向量 v₁ = (1, √3)，可以得到旋转矩阵：
R = | cos30° sin30° | = | √3/2 1/2 |
| -sin30° cos30° | | -1/2 √3/2 |
将 (x, y) 表示为 (x', y') * R 的形式，代入原方程可得：
9(x'cosθ + y'sinθ)² - 2√3(x'cosθ + y'sinθ)(x'sinθ + y'cosθ) + 3(x'sinθ + y'cosθ)² = 0
化简可得：
9x'^2 + 3y'^2 = 0
从而证明，在新坐标系下，方程的二次项中不再有 xy 项。
在解决某些二次曲线方程的问题时，我们可能需要将二次项中的 xy 项去掉。这时，可以通过将坐标系进行旋转的方式来实现。
具体步骤如下：
1. 将方程 9x^2 - 2√3xy + 3y^2 = 0 转化为矩阵形式，即：
| 9 -√3 | | -√3 3 | * | x | = | 0 |
2. 求出该矩阵的特征值和特征向量。
由于该矩阵是对称矩阵，因此可以直接进行特征值分解。具体求解过程略。
得到特征值 λ₁ = 6 和 λ₂ = 3，并相应地得到特征向量 v₁ = (1, √3) 和 v₂ = (-√3, 1)。
3. 将特征向量作为坐标轴进行旋转，得到新的坐标系。
旋转的角度比较复杂，可以使用反正切函数等数学工具求解。不过，由于题目中已经给出了方程中的 xy 项，因此可以直接求出旋转的角度。
以特征向量 v₁ 为例，该向量与原本的 x 轴之间的夹角即为旋转角度。可以使用向量点积等知识求解：
cosθ = v₁ * [1, 0] / (|v₁| * |[1, 0]|) ≈ 0.866 θ ≈ cos⁻¹(0.866) ≈ 30°
因此，旋转角度约为 30°。
4. 在新坐标系下，方程的二次项中不再有 xy 项。
以特征向量 v₁ 为例，将方程转化为新坐标系下的形式：
9'x'^2 + 3'y'^2 = 0
其中，新坐标系统下的坐标为 (x', y')，并且 (x, y) = (x', y') * R，其中 R 是旋转矩阵。
由于旋转矩阵可以表示为：
R = | cosθ sinθ | | -sinθ cosθ |
因此，对于特征向量 v₁ = (1, √3)，可以得到旋转矩阵：
R = | cos30° sin30° | = | √3/2 1/2 | | -sin30° cos30° | | -1/2 √3/2 |
将 (x, y) 表示为 (x', y') * R 的形式，代入原方程可得：
9(x'cosθ + y'sinθ)² - 2√3(x'cosθ + y'sinθ)(x'sinθ + y'cosθ) + 3(x'sinθ + y'cosθ)² = 0
化简可得：
9x'^2 + 3y'^2 = 0
从而证明，在新坐标系下，方程的二次项中不再有 xy 项。