DAA-库克定理

简介

DAA-库克定理是计算两个平面上的点集之间的欧氏距离的一种算法。它的名称是来源于算法的两位发明者：David Avis和Kirkpatrick Michael Cook。

该算法可以用于最优化问题，如最短路径问题、聚类分析等。并且它的时间复杂度为O(nlogn)，效率较高，因此广泛应用于图形图像处理领域。

原理

在平面上有两个点集A和B，大小分别为n和m；DAA-库克定理就是要计算出它们之间的欧氏距离。

算法的前提是需要对两个点集进行排序，按照x坐标从小到大排序，如果两个点的x坐标相同，则按照y坐标从小到大排序。

之后，我们将点集分别分割成两部分，这两部分分别是最接近中线的两部分。每个部分内部的点与其他点之间的欧氏距离可以通过递归的方式计算出来。而两个不同部分之间的距离可以通过以下公式计算得出：

# 对于点集A中的一个点a和点集B中的一个点b，他们之间的欧氏距离为：
distance(a, b) = sqrt((a.x - b.x) ^ 2 + (a.y - b.y) ^ 2)

最后，对于每一对点，取最小值即可。

实现

DAA-库克定理的实现比较复杂，需要递归计算距离以及找出中线。以下是一个简单的Python实现示例：

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y
        
def euclidean_distance(a, b):
    return ((a.x - b.x) ** 2 + (a.y - b.y) ** 2) ** 0.5
    
def distance_between_closest_points(A, B):
    def closest_distance(A, B):
        n = len(A)
        m = len(B)
        if n <= 3:
            return brute_force(A, B)
        middle_index = n // 2
        middle_point = A[middle_index]
        left_A = A[:middle_index]
        right_A = A[middle_index:]
        left_B = []
        right_B = []
        for point in B:
            if point.x < middle_point.x:
                left_B.append(point)
            else:
                right_B.append(point)
        dist_left = closest_distance(left_A, left_B)
        dist_right = closest_distance(right_A, right_B)
        dist = min(dist_left, dist_right)
        strip = []
        for point in B:
            if abs(point.x - middle_point.x) < dist:
                strip.append(point)
        return strip_closest(strip, dist)

    def brute_force(A, B):
        d = float("inf")
        for point1 in A:
            for point2 in B:
                d = min(d, euclidean_distance(point1, point2))
        return d
        
    def strip_closest(strip, d):
        min_d = d
        sorted_strip = sorted(strip, key=lambda point: point.y)
        n = len(sorted_strip)
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1, n):
                if (sorted_strip[j].y - sorted_strip[i].y) >= min_d:
                    break
                min_d = min(min_d, euclidean_distance(sorted_strip[i], sorted_strip[j]))
        return min_d

    A.sort(key=lambda point: point.x)
    B.sort(key=lambda point: point.x)
    return closest_distance(A, B)

以上是一个基于Python的实现方法，使用了递归和分治的思路。对于点数较小的情况，使用暴力求解。对于点集较大的情况，使用DAA-库克定理进行求解。