门| GATE CS 2021 |套装2 |第31章

本门课程主要介绍了在 GATE CS 2021 套装2 中的第31章，涵盖了以下主题：

• 最小生成树（MST）
• Kruskal 算法
• Prim 算法
• 应用

最小生成树（MST）

最小生成树是在一张无向加权图中找到一棵包含所有节点的生成树，并使得权值和最小。它是算法问题中的经典问题，在许多领域中都有重要应用。

Kruskal 算法

Kruskal算法基于并查集的某些性质，它是一个贪心算法。对于无向加权图 G=(V,E)，Kruskal算法从边集 E 中选择最小权重的边，并保证不形成环。因此，Kruskal算法选择的边将始终构成一个森林，并最终合并为一棵生成树。

def kruskal(graph):
    edges = sorted(graph.edges(), key=lambda x: graph.adj[x[0]][x[1]]['weight'])
    nodes = list(graph.nodes())
    parent, rank = make_set(nodes)
    mst = set()
    for edge in edges:
        u, v, weight = edge[0], edge[1], graph.adj[edge[0]][edge[1]]['weight']
        if find_set(u, parent) != find_set(v, parent):
            mst.add(edge)
            union(u, v, parent, rank)
    return mst

Prim 算法

Prim算法也是一个贪心算法。它从一个单点开始，每次将一个未被选择的节点和之前的树构成的子图连接，选择连接代价最小的边。通过这个过程，最终生成一棵生成树。

def prim(graph, start):
    visited = {start}
    heap = [(graph[start][neighbor]['weight'], start, neighbor) for neighbor in graph[start]]
    heapq.heapify(heap)
    mst = set()
    while heap:
        weight, u, v = heapq.heappop(heap)
        if v not in visited:
            visited.add(v)
            mst.add((u, v, weight))
            for neighbor in graph[v]:
                if neighbor not in visited:
                    heapq.heappush(heap, (graph[v][neighbor]['weight'], v, neighbor))
    return mst

应用

最小生成树问题在实际应用中非常广泛，特别是在网络设计、资源管理和旅游路线规划等领域。本章还介绍了最小生成树应用的三个实例：电缆布线、网络对等连接和飞机航线规划。

电缆布线问题：

在一个城市中有多个区域，将这些区域通过电缆联通起来。每个区域到其他区域的联通需要布线，不同的布线费用不同，那么如何设计一个最优的电缆布线方案呢？最小生成树问题可以帮助我们解决这个问题。

网络对等连接：

在互联网中，网络对等连接是指两个 ISP （Internet Serivce Provider）之间通过一条高速线路相互连接，使得 ISP 之间的数据能够更快速的交换。由于网络对等连接的带宽很昂贵，因此如何选择最优的网络对等连接成为很多互联网公司的一个挑战。最小生成树问题可以帮助我们解决这个问题。

飞机航线规划：

在快速发展的航空业中，飞机航线规划是一个很重要的问题。如何设计最优的飞机航线，可以帮助航空公司降低成本，并提高效率。利用最小生成树算法，我们可以在保证飞机航路的全程最短的同时，选择飞行相关的附属成本最低的路线，从而完成一个航空公司路线升级计划。