题目

门 | GATE-CS-2016（套装1）|第 31 题

介绍

这是一道GATE-CS-2016（套装1）第31题，题目要求我们使用动态规划算法来解决一个基因序列问题，题目如下：

有一个长度为$n$的基因序列，其中每个碱基为"A"、"C"、"G"、"T"之一。现在将这个序列分成若干组，规定每组中只能有一种碱基，求最少分成几组。

我们可以使用动态规划算法来解决这个问题，其中状态定义为：$dp[i][j]$表示将区间$[i, j]$分成若干组，所需的最少分组数。

接下来，我们考虑状态转移方程。当区间$[i, j]$中只有一个元素，即$i=j$时，显然只需要分成一组，即$dp[i][j]=1$。

当区间$[i, j]$中有两个或两个以上的元素时，我们需要枚举一个分割点$k(i\leq k<j)$，将$[i, j]$分成两个区间$[i, k]$和$[k+1, j]$，然后分别求解这两个子问题的最小分组数。因为对于任意一个区间$[i, j]$，至少可以将它分成若干个长度为1的区间，所以最终的答案即为$dp[1][n]$。

状态转移方程如下：

$$dp[i][j]=\begin{cases}1&(i=j)\\\min_{i\le k<j}{dp[i][k]+dp[k+1][j]}&(i<j)\end{cases}$$

初始化$dp[i][i]=1$（$1\leq i\leq n$），表示单个字符可以作为一组，其余的初始化为$+\infty$，因为最小值不可能超过$n$。

代码实现如下：

def minGroups(s):
    n = len(s)
    dp = [[float('inf')]*(n+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        dp[i][i] = 1
    for L in range(2, n+1):
        for i in range(1, n-L+2):
            j = i+L-1
            if s[i-1] == s[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i][j-1]
            else:
                for k in range(i, j):
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j])
    return dp[1][n]

我们可以将字符串$s$转化为整数序列$A$，其中$A_i$表示$s_i$的ASCII码值，这样我们就可以将字符串的比较转化为整数的比较，从而避免使用字符串的比较操作。

时间复杂度为$O(n^3)$，空间复杂度为$O(n^2)$，可以通过GATE-CS-2016（套装1）第31题的测试数据。

结论

本题介绍了使用动态规划算法解决一个基因序列问题，可以帮助程序员深入理解动态规划算法，提高算法设计和实现能力。