门| GATE-CS-2017（套装1）|第 31 题

这道题目是关于有向图的路径覆盖问题。我们需要将给定的有向图中所有的路径完全覆盖。一个路径是指一系列沿着边从起点到终点的顶点序列。

这个问题可以等价于寻找最小的点集，使得图中所有的路径至少经过其中的一个顶点。这是因为在每一个路径中，我们必须经过图中的某一个顶点。因此，我们可以将覆盖路径的点集看作一个顶点覆盖集。

这个问题可以通过转化为二分图最小顶点覆盖问题来解决。我们可以将每个路径拆成若干个顶点。起点和终点也可以被视为顶点。这些顶点可以在二分图中表示为两个顶点集合 U 和 V，它们之间的边表示路径中的顶点。由于每一个路径必须至少包含其中的一个顶点，我们可以将边从 U 指向 V 中所有与它相连的顶点。这样，二分图中的每个路径都被转化为一条从 U 到 V 的路径。

这个问题可以通过使用匈牙利算法来求解。我们需要将转化后的二分图中的最大匹配映射回原问题。在这个匹配中，每个路径都有一个匹配的顶点。因此，我们可以从每个匹配的顶点开始，向前或向后沿着匹配的边递归地构造出覆盖路径。

Markdown 代码如下：

## 门| GATE-CS-2017（套装1）|第 31 题

这道题目是关于有向图的路径覆盖问题。我们需要将给定的有向图中所有的路径完全覆盖。一个路径是指一系列沿着边从起点到终点的顶点序列。

这个问题可以等价于寻找最小的点集，使得图中所有的路径至少经过其中的一个顶点。这是因为在每一个路径中，我们必须经过图中的某一个顶点。因此，我们可以将覆盖路径的点集看作一个顶点覆盖集。

这个问题可以通过转化为二分图最小顶点覆盖问题来解决。我们可以将每个路径拆成若干个顶点。起点和终点也可以被视为顶点。这些顶点可以在二分图中表示为两个顶点集合 U 和 V，它们之间的边表示路径中的顶点。由于每一个路径必须至少包含其中的一个顶点，我们可以将边从 U 指向 V 中所有与它相连的顶点。这样，二分图中的每个路径都被转化为一条从 U 到 V 的路径。

这个问题可以通过使用匈牙利算法来求解。我们需要将转化后的二分图中的最大匹配映射回原问题。在这个匹配中，每个路径都有一个匹配的顶点。因此，我们可以从每个匹配的顶点开始，向前或向后沿着匹配的边递归地构造出覆盖路径。