国际空间研究组织 | ISRO CS 2007 | 問題 16

這是一道國際空間研究組織(ISRO)在2007年度的招聘考試中的問題， 需要你來實現一個程序。

問題描述

現在有一個長度為$N$的未排序整數數組$a$，請你用$O(N)$的時間複雜度找到所有的峰值，並返回這些峰值所在的索引

峰值的定義為：對於一個序列$a$，如果它的某一元素$a[i]$既大於等於$a[i-1]$，又大於等於$a[i+1]$，那麼我們就稱$a[i]$是一個峰值

函數簽名

def find_peak_index(arr: List[int]) -> List[int]:
    pass

範例

範例 1

輸入：

arr = [1, 2, 3, 4, 5]

輸出：

[]

解釋：

由於整個數組都是遞增的，所以不存在峰值

範例 2

輸入：

arr = [1, 2, 3, 1]

輸出：

[2]

解釋：

在第2個位置上，1既大於等於前一個元素3，也大於等於後一個元素1，因此它是一個峰值

範例 3

輸入：

arr = [1, 2, 3, 4, 5, 2]

輸出：

[4]

解釋：

在第4個位置上，5既大於等於前一個元素4，也大於等於後一個元素2，因此它是一個峰值

思路

對於這道問題，可以使用分治法的思想，從中間找到一個元素，然後比較它和它左右相鄰兩個元素的大小關係

1. 如果這一個元素比其左右兩個元素都大，那麼它就是一個峰值

2. 如果它比左邊的元素小，那麼左邊存在峰值，同樣地，如果它比右邊的元素小，那麼右邊存在峰值

3. 如果它左右相等，那麼往任一方進行遞歸查找直到找到峰值為止

由於每次比較都能排除數組的一半，因此時間複雜度為$O(log(N))$

但是，由於題目要求我們使用$O(N)$的時間複雜度，所以上述方法不可行

我們可以採用線性時間複雜度的方法，對於任意一個元素$a[i]$，只需要比較$a[i-1]$、$a[i]$和$a[i+1]$，如果$a[i]$既大於等於前一個元素，又大於等於後一個元素，那麼它就是一個峰值

為了處理邊界元素$a[0]$和$a[N-1]$，需要特別判斷是否符合峰值的定義

在最壞的情況下，需要遍歷整個數組，因此時間複雜度為$O(N)$

解法

線性時間複雜度的解法比較簡單，只需要按照上述思路進行實現即可

from typing import List

def find_peak_index(arr: List[int]) -> List[int]:
    n = len(arr)
    res = []
    if n == 0:
        return res
    
    if n == 1:
        return [0]
    
    if arr[0] >= arr[1]:
        res.append(0)
    
    for i in range(1, n-1):
        if arr[i] >= arr[i-1] and arr[i] >= arr[i+1]:
            res.append(i)
    
    if arr[n-1] >= arr[n-2]:
        res.append(n-1)
    
    return res

結論

這道題目考查了我們對於時間複雜度的理解和實現能力，通過本題的練習，我們可以更好地理解線性時間複雜度和分治法的思想，提高我們的編程技能。