国际空间研究组织 | ISRO CS 2007 |问题 4

这是ISRO CS 2007问题4的解决方案。

问题描述

给定一个数列A，长度为N。请编写一个程序，计算数列中有多少对(i, j)使得i < j且A[i] + A[j]是一个质数。

算法

解决这个问题的算法可以按以下步骤进行：

1. 生成一个长度为10000的质数数组，用于判断一个数是否为质数。这是因为题目给定的数列中的数都是小于10000的整数。
2. 使用两个for循环遍历所有的(i,j)数对，其中i < j。
3. 在循环中，检查A[i] + A[j]是否为质数，如果是，则将count变量增加1。

算法的代码片段如下所示：

// 生成计算质数表
bool prime[10001];
void generate_primes() {
    memset(prime, true, sizeof(prime));

    // 手动标识0和1不是质数
    prime[0] = prime[1] = false;

    for (int i = 2; i * i <= 10000; i++) {
        if (prime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= 10000; j += i) {
                prime[j] = false;
            }
        }
    }
}

// 主算法
int count_prime_pairs(vector<int>& A) {
    int count = 0;

    for (int i = 0; i < A.size(); i++) {
        for (int j = i+1; j < A.size(); j++) {
            int sum = A[i] + A[j];

            // 使用预先计算的质数表来检查和是否是质数
            if (prime[sum]) {
                count++;
            }
        }
    }

    return count;
}

时间复杂度分析

本算法使用两个for循环遍历数列A中的所有数对，并在循环中检查它们的和是否为质数。由于输入的数列的长度为N，因此总循环次数为(N*(N-1))/2。在循环中，我们需要执行一个O(1)的质数判断，而在算法开头，我们使用O(n log log n)的时间预先计算出了一个长度为10000的质数表。因此，总时间复杂度为O(N^2 + 10000)，即O(N^2)。

总结

本解决方案提供了一个用于计算数列中满足给定条件的数对数量的算法。本算法的时间复杂度为O(N^2)，并且需要预先计算长度为10000的质数表。