使两个字符串相等所需的最少操作数

介绍

在字符串算法中，有一种非常常见的情况就是需要将两个字符串变得相等。但是，两个字符串不一定完全相同，因此需要进行一些操作，例如插入、删除、替换等等。本文将介绍如何通过最少的操作数来使两个字符串相等。

方法

动态规划

通常，我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们使用一个二维数组来表示两个字符串之间的距离。在该数组中，$dp[i][j]$ 表示对于第一个字符串的前 $i$ 个字符和第二个字符串的前 $j$ 个字符，它们之间的编辑距离（也就是需要进行操作的最少步骤数）。

我们可以定义三种操作：

• 插入操作：将第一个字符串中的一个字符插入到第二个字符串中
• 删除操作：将第二个字符串中的一个字符删除
• 替换操作：将第一个字符串中的一个字符替换为第二个字符串中的另一个字符

对于某个位置 $(i, j)$，我们可以考虑将第一个字符串中的第 $i$ 个字符转换为第二个字符串中的第 $j$ 个字符，或者通过插入、删除或替换操作来实现。

因此，我们可以得到以下状态转移方程：

$$ dp[i][j]=\begin{cases} dp[i-1][j-1]&\quad\text{如果}s1[i]=s2[j]\ min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1&\quad\text{否则} \end{cases} $$

其中，第一种情况表示第一个字符串中的第 $i$ 个字符和第二个字符串中的第 $j$ 个字符相同，因此不需要进行任何操作。而第二种情况表示第一个字符串中的第 $i$ 个字符和第二个字符串中的第 $j$ 个字符不同，因此需要通过插入、删除或替换操作来将它们变得相同。在这种情况下，我们需要选择操作中最小的那个，并将操作步骤数加一。

最终，我们可以得到 $dp[m][n]$，其中 $m$ 和 $n$ 分别表示两个字符串的长度。这个值就是使两个字符串相等所需的最少操作数。

代码实现

下面是用 Python 编写的字符串编辑距离算法的实现代码片段：

def minDistance(word1: str, word2: str) -> int:
    m, n = len(word1), len(word2)
    # dp 数组初始化为 0
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    # 第一行和第一列的值初始化为 i 和 j
    for i in range(1, m + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(1, n + 1):
        dp[0][j] = j
    # 动态规划处理
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
    return dp[m][n]

总结

本文介绍了通过动态规划来计算编辑距离的方法。使用该方法，我们可以找到使两个字符串相等所需的最少操作数。这个算法非常实用，在许多字符串算法问题中都有应用。