拼图 | （篮球投篮）

你有一个篮球架，有人说你可以玩两场比赛中的一场。
比赛 1 ：你有一次投篮机会。
游戏 2 : 你得到了三个投篮，你必须投三投中的两个。
如果 p 是特定投篮的概率，那么您应该为哪个 p 值选择一场比赛或另一场比赛？

回答：

赢得第一场比赛的概率：
根据定义，赢得游戏 1 的概率是 p。

赢得第 2 场比赛的概率：
设 s(k, n) 是 n 次投中恰好 k 次的概率。赢得第二场比赛的概率是 3 次投中 2 次或 3 次投篮全部投中的概率。换句话说：

P(获胜) = s(2, 3) + s(3, 3)

三枪都投中的概率是：

s(3, 3) = $p^3$

恰好进行两次射击的概率为：
P（制作 1 和 2，& 缺少 3） + P（制作 1 和 3，& 缺少 2） + P（制作 2 和 3，& 缺少 1）

= [p * p * (1-p)] + [p * (1-p) * p] + [(1-p) * p * p] = 3*(1-p)* $p^2$

将这些加在一起，我们得到：

= $p^3$ + 3(1-p) $p^2$ = $p^3$ + 3 $p^2$ - 3 $p^3$ = 3 $p^2$ - 2 $p^3$

你应该玩哪个游戏？
如果 P(Game 1) > P(Game 2)，你应该玩 Game 1：

p > 3 $p^2$ - 2 $p^3$ 1 > 3p - 2 $p^2$ 2 $p^2$ - 3p + 1 > 0 (2p - 1)(p - 1) > 0

两项都必须是正的，或者都必须是负的，但是我们知道 p < 1，所以 p – 1 < 0。这意味着这两项都必须是负的。

2p - 1 < 0
    2p < 1
    p < 0.5

因此，如果 0 < p < 0.5，我们应该玩游戏 1，如果 0.5 < p < 1，我们应该玩游戏 2。
如果 p = 0、0.5 或 1，则 P(Game 1) = P(Game 2)，所以我们玩哪个游戏并不重要。