计算机图形学– 3D缩放转换

先决条件：计算机图形学– 3D翻译转换

缩放转换：
_{执行该操作以调整3D对象的大小，即可以通过S x} ，S _y ，S _z缩放因子在x，y，z方向中的任意方向上缩放(更改)对象的尺寸。

标度转换条件的矩阵表示：

$\large S[x, y, z]= \left [ \begin{matrix} S_x &0&0& 0\\ 0 & S_y&0&0&\\ 0 & 0&S_z&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]\\ where\, S_x, \, S_y, \, S_z\, \text{are}\, \text{the}\, \text{Scaling\, Factors}.\\$

在固定点上执行缩放转换时，会发生以下类型的序列–

• 不动点将转换为原点。
• 缩放对象。
• 不动点将平移到其原始位置。

假设3D空间中的一个点是P(x，y，z)，我们要对其应用缩放变换操作，并给出缩放因子[S _x ，S _y ，S _z ]，因此，该点之后的新位置应用扩展操作将是–

$\textbf{P'[x, y, z, 1]=P[x, y, z, 1].S[x, y, z]}$注意：如果使用比例因子(S _x ，S _y ，S _z )，则在这种情况下，将在所有X，Y，Z方向上均等地放大3D对象。

问题 ：
考虑上面的问题，其中给多维数据集“ OABCDEFG” O(0，0，0，)，A(0，4，0)，B(0，4，4)，C(4，4，0)，D (4，4，4)，E(4，0，0)，F(0，0，4)，G(4，0，4)，我们得到比例因子S _x ，S _y ，S _z 。对多维数据集执行缩放操作。

解决方案 ：
我们被要求对下面的图3D对象执行缩放转换：

图。1

现在，应用Matrix Scaling变换条件，我们得到–

$\large O'[x, y, z, 1]= [0\, 0\, 0\, 1]\left [ \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]=[0\, 0\, 0\, 1]\\\\ \hspace{4cm}A'[x, y, z, 1]= [0\, 4\, 0\, 1]\left [\begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]=[0\, 12\, 0\, 1]\\\\ \hspace{4cm}B'[x, y, z, 1]= [0\, 4\, 4\, 1]\left [ \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]=[0\, 12\, 8\, 1]\\\\ \hspace{4cm}C'[x, y, z, 1]= [4\, 4\, 0\, 1]\left [ \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]=[8\, 12\, 0\, 1]\\\\ \hspace{4cm}D'[x, y, z, 1]= [4\, 4\, 4\, 1]\left [ \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]=[8\, 12\, 8\, 1]\\\\ \hspace{4cm}E'[x, y, z, 1]= [4\, 0\, 0\, 1]\left [ \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]=[8\, 0\, 0\, 1]\\\\ \hspace{4cm}F'[x, y, z, 1]= [0\, 0\, 4\, 1]\left [ \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]=[0\, 0\, 8\, 1]\\\\ \hspace{4cm}G'[x, y, z, 1]= [4\, 0\, 4\, 1]\left [ \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&3&0&0\\ 0&0&2&0\\ 0&0&0&1\\ \end{matrix}\right]=[8\, 0\, 8\, 1]\\\\$

成功执行缩放转换后，图1如下图2所示–

图2