如果长方体的长、宽和高加倍，长方体的表面积会发生什么变化？

测量是数学的一个分支，涉及几何图形和参数（如体积、面积、表面积等）的研究。它可以处理 和 2-D 和 3-D 图形。或者我们可以说，当我们处理面积、特定形状的体积或几何图形的不同参数时，它被称为数学中的测量。

长方体

长方体是包含在 6 个面内的三维几何图形。它使用三个维度来识别，即长度、宽度和高度。它可以看作是一堆连接在一起的矩形板。一个长方体的所有顶点都是 90°。

长方体的表面积

长方体的表面积，用SA表示，等于长方体所有六个面的面积之和。由于任何矩形面的乘积等于任何二维的乘积，因此，SA 由下式给出，

Surface Area = 2lw + 2lh + 2hw

S.A = 2 (lw + lh + hw)

其中，SA 是长方体的表面积，l 是长方体，h 是高，w 是长方体的宽。因此，表面积等于长度的乘积，一次取两个。因此，长方体的表面积是以平方单位来衡量的。

如果长方体的长、宽和高加倍，长方体的表面积会发生什么变化？

解决方案：

As we know that

S.A = 2 (lw + lh + hw)

Let us assume l’ , w’ and h’ to be the new length, width and height respectively. Also, the new surface area to be denoted by S.A’. 

According to the problem statement, 

SA’ =  2 (l’w’ + l’h’ + h’w’)

Now, each of the length, width and height  are doubled, thereby, 

l’ = 2l

h’ = 2h

w’ = 2w 

S.A’ = 2 (2l x 2w + 2l x 2h + 2h x 2w)

SA’ = 2 x 4 (lw + lh + hw)

On solving, 

S.A’ = 4 x 2 (lw + lh + hw)

Since, 

S.A = 2 (lw + lh + hw)

So, 

S.A’ = 4 x S.A

The surface area of cuboid therefore becomes four times if we double all the dimensions of the cuboid. 

类似问题

问题1：你能用长方体的表面积推导出立方体的表面积吗？

解决方案：

Since, we know, 

Surface Area of Cuboid = 2 (lw + lh + hw), where let us assume the length to be denoted by l, height to be denoted by h and width to be denoted by w respectively. 

In case of a cube, length, width and height of a cube are equivalent. Let us assume ‘a’ to be the length, breadth and height of the cube. 

On substituting the values, we obtain, 

Surface Area of cube = 2 (a x a + a x a + a x a)

= 2 (3 a²)

= 6 a²

问题2：利用上式求长方体的表面积，长、宽、高各等于2m。

解决方案：

Surface Area of cube = 6 a²

We have, a = 2m 

Therefore, 

Surface Area = 6 x 2²

= 6 x 4 m²

= 24 m²

问题3：如果将长方体的长度设为原来的一半，长方体的表面积会发生什么变化？

解决方案：

As we know that,

S.A = 2 (lw + lh + hw)

Now, 

New surface area, SA’ =  2 (l’w’ + l’h’ + h’w’)

l’ = 1/2l 

w’ = w

h’ = h

SA’ = 2(1/2l x w + 1/2 l x h + h w)

SA’ = 2(1/2 (lw + lh) + hw)

SA’ = lw + lh + 2hw

问题4：如果长方体的长、宽、高各做n次，推导公式。

解决方案：

As we know that,

S.A = 2 (lw + lh + hw)

Now,

New surface area, SA’ =  2 (l’w’ + l’h’ + h’w’)

l’ = nl

h’ = nh

w’ = nw

SA’ = 2 (nl x nw + nl x nh + nh x nw)

SA’ = 2n² (lw + lh + hw)

SA’ = n² x SA

Therefore, the surface area becomes n² times. 

问题 5：用上面的公式，说明在每个尺寸缩小到 1/3 倍的情况下，表面积如何变化。

解决方案：

The surface area becomes (1/3)² times. 

Therefore, 

The new surface area = 1/9 times the original surface area.