国际空间研究组织 | ISRO CS 2009 |问题 11

本题是来自于ISRO（印度空间研究组织）2009年的编程考试中的问题11。该问题求解的是一个数字序列中第K大的数和第K小的数。

问题描述

在一个数字序列中，寻找第K大的数和第K小的数。数字序列中所有数都不相同。

例如，序列为{3, 5, 2, 7, 6, 4}， K=3，则第三大的数为5，第三小的数为4。

思路分析

为了解决这个问题，我们可以首先将数字序列排好序。如果直接排序的话，时间复杂度为O(nlogn)。针对不同的K值可以使用不同的算法。

第K大的数

对于找第K大的数，我们可以使用快速选择算法。这是一种选择第K小/大的数字的简单但高效的算法。其思路为：

• 从待选择数字序列中随机选取一个数字P（称为中间数字）
• 将其它数字分为两集合S1和S2。S1中的数字小于等于P，S2中的数字大于P
• 如果S1中的数字的数量比K多，则第K大的数在S1中，否则在S2中
• 我们可以递归地应用这个算法来查找第K大的数

该算法的时间复杂度为O(n)，最坏情况下为O(n^2)，但是这个情况很少发生。

第K小的数

对于找第K小的数，我们可以使用最小堆来实现。一个k元最小堆可以在O(nlogK)的时间内构建，然后可以在O(KlogK)的时间内提取前K个最小的数字。我们可以使用一个大小为K的最小堆来找到第K小的数字。

代码实现

下面的代码是使用Python实现的，用于找到一个数字序列中第K大的数和第K小的数。

import heapq

def kth_largest(arr, k):
    # find kth largest number using quick select
    return quick_select(arr, 0, len(arr) - 1, len(arr) - k)

def kth_smallest(arr, k):
    # find kth smallest number using min heap
    heap = []
    for num in arr:
        heapq.heappush(heap, num)
        if len(heap) > k:
            heapq.heappop(heap)
    return heapq.heappop(heap)

def quick_select(arr, left, right, k):
    if left == right:
        return arr[left]
    pivot_index = partition(arr, left, right)
    if k == pivot_index:
        return arr[k]
    elif k < pivot_index:
        return quick_select(arr, left, pivot_index - 1, k)
    else:
        return quick_select(arr, pivot_index + 1, right, k)

def partition(arr, left, right):
    pivot = arr[right]
    i = left - 1
    for j in range(left, right):
        if arr[j] <= pivot:
            i += 1
            arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
    arr[i + 1], arr[right] = arr[right], arr[i + 1]
    return i + 1

上面的代码中，kth_largest()函数找到数字序列中第K大的数字，使用快速选择算法实现；kth_smallest()函数找到数字序列中第K小的数字，使用最小堆来实现。其中heapq.heappush()和heapq.heappop()函数使用了Python标准库中的堆（heap）操作函数，来维护最小堆。将数字序列排好序，然后使用二分查找来找到第K小的数字，也是一个可行的解决方案。