精确覆盖问题和算法X | 设置2(用DLX实施)

精确覆盖问题

精确覆盖问题（Exact Cover Problem）是一类计算机科学问题，它的目标是从一组集合中选取一个子集，使得这个子集的并集与目标集合相等。这个问题可以被抽象成矩阵模型，即矩阵中每一行表示一个集合，矩阵中每一列表示一个元素，如果集合包含元素，则对应位置为1，否则为0。精确覆盖问题的目标就是在矩阵中找到一个行集合的子集，使得这个子集中每一列都有且只有一个1。这个问题可以应用到多个领域，例如数独、游戏、维诺图等领域。

算法X

算法X（Algorithm X）是一种经典的求解精确覆盖问题的算法，由计算机科学家 Donald E. Knuth 在其著名的《The Art of Computer Programming》一书中提出。算法X本质上是一种回溯算法，在递归过程中，算法会选择一个列节点C，将C所在的列从矩阵中删除，并且将与C有交集的行也从矩阵中删除。然后继续递归处理，直到找到了满足条件的行集合。如果到达了非法状态，算法会回溯到前一步选择一个不同的列节点进行操作。算法X具有高效和实用性，可以应用到大规模的问题中。

DLX算法

DLX（Dancing Links）算法是 Donald E. Knuth 对算法X的改进，它可以更加高效和快速地求解精确覆盖问题。DLX算法采用一个双向十字链表来表示矩阵，这个链表结构可以快速地添加或删除行或者列。然后采用回溯法进行搜索。DLX算法的核心思想是每次选择列节点的时候，选择的是具有最小列长度的列节点，这样可以最大程度地减少搜索的次数。DLX算法具有高效、快速和可扩展性的特点，已经广泛应用在多个领域中。

代码片段

下面是采用DLX实现的精确覆盖问题的代码片段：

class DLX:
    def __init__(self):
        self.col_size = 0
        self.row_size = 0
        self.header = None
        self.answer = []
        self.column = None

    def create_matrix(self, matrix):
        self.col_size = len(matrix[0])
        self.row_size = len(matrix)
        self.answer = [-1] * self.row_size
        self.column = [ColumnNode(i) for i in range(self.col_size)]
        self.header = ColumnNode(-1)

        for col_idx in range(self.col_size):
            self.column[col_idx].register_right(self.header)
            self.header.register_left(self.column[col_idx])
        prev_node = None
        for row_idx in range(self.row_size):
            left_node = None
            for col_idx in range(self.col_size):
                if matrix[row_idx][col_idx] == 1:
                    node = Node(row_idx, self.column[col_idx])
                    if left_node is None:
                        left_node = node
                        prev_node = node
                    else:
                        prev_node.register_right(node)
                        node.register_left(prev_node)
                        prev_node = node
                    self.column[col_idx].register_down(node)
            prev_node.register_right(left_node)
            left_node.register_left(prev_node)

    def remove_column(self, col_node):
        col_node.remove_horizontal()
        for node in col_node.down_iter():
            for r_node in node.right_iter():
                r_node.remove_vertical()

    def resume_column(self, col_node):
        for node in col_node.up_iter():
            for l_node in node.left_iter():
                l_node.resume_vertical()
        col_node.resume_horizontal()

    def dance(self, depth=0):
        if self.header.right == self.header:
            return True
        col_node = self.header.right
        for node in col_node.right_iter():
            if node.size < col_node.size:
                col_node = node
        self.remove_column(col_node)
        for node in col_node.down_iter():
            self.answer[depth] = node.row_idx
            for r_node in node.right_iter():
                self.remove_column(r_node.col_node)
            if self.dance(depth + 1):
                return True
            for l_node in node.left_iter():
                self.resume_column(l_node.col_node)
            self.answer[depth] = -1
        self.resume_column(col_node)
        return False

代码中首先定义了一个DLX类，该类包含了构造双向十字链表、移除列、恢复列和DLX主体算法等关键函数。其中最核心的是dance函数，该函数会每次选择具有最小列长度的列节点进行操作，如果找到了满足条件的行节点，则返回True，否则回溯到上一个状态，重新选择列节点继续处理。最后，返回的结果是一个满足条件的行节点集合。