门| GATE-CS-2014-(Set-2)|问题25

这道题测试了对于计算机科学中的图论问题的掌握程度，需要给出一个时间和空间复杂度都比较好的图遍历函数。

题目描述

输入数据包含一个有向图，要求实现一个函数 $traversal$，按照图的深度优先遍历的顺序将经过的每一个节点编号打印出来，并且每遍历完一条路径后回到之前的节点继续遍历直到所有节点被访问。需要注意的是，虽然问题中的图是有向图，但是还需要能访问到所有的节点。

原理

深度优先遍历（DFS）的原理是从某一节点出发先访问其子节点，然后再依次访问这些子节点的子节点，这个过程不断递归，直到访问完所有可以到达的节点为止，以此遍历了整个图。

算法

实现DFS的核心是递归或迭代过程，我们可以借助栈来提高可读性。

递归实现

递归实现DFS过程的代码如下所示：

def DFSRec(graph, node, visited):
    visited.add(node)
    print(node, end=' ')
    for neighbor in graph[node]:
        if neighbor not in visited:
            DFSRec(graph, neighbor, visited)


def traversal(graph):
    visited = set()
    for node in graph:
        if node not in visited:
            DFSRec(graph, node, visited)

迭代实现

def traversal(graph):
    visited, stack = set(), list(graph.keys())
    while stack:
        node = stack.pop()
        if node not in visited:
            print(node, end=' ')
            visited.add(node)
            stack.extend([n for n in graph[node] if n not in visited])

复杂度

无论是递归实现还是迭代实现，时间复杂度都是 $O(V+E)$，其中 $V$ 是节点数，$E$ 是边数，因为遍历每个节点都需要访问它的出边并检查是否已经被访问过。

空间复杂度也是 $O(V+E)$，所需空间由栈和 visited 集合共同决定。

结论

经过以上分析，可以得到一个时间复杂度和空间复杂度均为 $O(V+E)$ 的图遍历函数。另外，需要注意的一点是，题目中的有向图需要转换为无向图进行遍历，否则可能会漏掉一些节点。