介绍门题目

这是一道来自 GATE-CS-2014-(Set-2) 的算法问题，题目编号为 22。这道题目主要考察编程实现以及时间复杂度的掌握。

题目描述

给定两个整数 n 和 m，请编写一个函数 count_gates(n, m)，用于计算 n 个门所需的电缆数，其中 m 个门代表外部门，而其余的门都是内部门。 对于每个内部门，它必须连接至少两个其他门，而每个外部门必须连接一个内部门。 门之间的连接只可以使用电缆，每个电缆仅可以连接两扇门。

例如，当 n=6 且 m=2 时，其门布局如下所示：

        +---+          +---+ 
        | 1 | ---------| 2 |
        +---+          +---+ 
          |     
        +---+          +---+ 
        | 3 | ---------| 4 |
        +---+          +---+ 
          |
        +---+          +---+ 
        | 5 | ---------| 6 |
        +---+          +---+ 

在此布局中，有三个内部门和两个外部门。 两个外部门必须连接至少一个内部门，且每个内部门都必须连接至少两个其他门。 因此，至少需要 3 + 2 = 5 条电缆。

解法

我们可以通过计算每个内部门的最小连接数来解决这个问题。 在此目的下，我们可以认为每个内部门都是一个节点，并且只有两个连接门才能相连。

因此，对于一个有 k 条连接的内部门，它至少需要 k-1 条电缆来连接它的门。 另外，对于每个外部门，它至少需要一条电缆来连接一个内部门。

为了计算 n 个门所需的总电缆数，我们必须计算每个内部门的最小连接数。为此，我们需要做一些图论计算，例如图的连通性和基于 DFS 或 BFS 的搜索算法。 每个搜索算法的时间复杂度为 O(n+m)，因此总时间复杂度为 O(n(n+m))。

代码实现

下方为 Python 实现代码：

def count_gates(n: int, m: int) -> int:
    if n < 2 or m < 1:
        return 0
    if n == 2:
        return m
    if n == 3:
        return 2 * m

    # 构造图
    edges = [(i, j) for i in range(1, n + 1) for j in range(i + 1, n + 1)]
    graph = {i: [] for i in range(1, n + 1)}
    for u, v in edges:
        graph[u].append(v)
        graph[v].append(u)

    # DFS搜索，计算各个连通分量的数量
    visited = set()
    connected_components = []
    for i in range(1, n + 1):
        if i not in visited:
            connected_component = [i]
            visited.add(i)
            stack = [i]
            while stack:
                u = stack.pop()
                for v in graph[u]:
                    if v not in visited:
                        visited.add(v)
                        stack.append(v)
                        connected_component.append(v)
            connected_components.append(connected_component)

    # 计算总电缆数量
    internal_gates = sum(len(cc) - 1 for cc in connected_components)
    external_gates = m
    return internal_gates + external_gates

以上代码的时间复杂度为 O(n(n+m))，空间复杂度为 O(n+m)。