James A. Garfield的勾股定理证明

简介

勾股定理是数学中的一个基础定理，是指一个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。此定理最早可以追溯到公元前三世纪的希腊数学家毕达哥拉斯的学派，其实名为毕达哥拉斯定理。

而在美国历史上，第20任总统James A. Garfield也曾经发现了一种特殊的勾股三元组，从而得到了一种独特的勾股定理，被称为“Garfield's Pythagorean Theorem”。

定理表述

根据Garfield的观测，当下面两个条件成立时：

• $n$ 为正整数，且 $n$ 为偶数
• $a=n^2-1$，$b=2n$，$c=n^2+1$ 为勾股三元组的三个数

则 $a^2+b^2=c^2$。

证明过程

可以通过代入勾股三元组的定义 $a^2+b^2=c^2$，以及满足上述条件时的 $a$，$b$，$c$ 值，来证明上述定理。

左边

首先，将 $a^2+b^2$ 展开：

$$ a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2 $$

$$ \qquad\qquad,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,\ =n^4-2n^2+1+4n^2 $$

$$ \qquad\qquad,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,\ =n^4+2n^2+1 $$

右边

再将 $c^2$ 展开：

$$ c^2=(n^2+1)^2 $$

$$ \qquad\qquad,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,\ =n^4+2n^2+1 $$

证明

可以看到，左边和右边的式子完全一致，因此有：

$$ a^2+b^2=c^2 $$

可以证明Garfield的勾股定理成立。

代码实现

以下是 python 代码实现，用于找出前 $n$ 个满足 Garfield 定理的勾股三元组：

def garfield_pythagorean_theorem(n):
  # n 为偶数
  for i in range(2, n+1, 2):
    a, b, c = i**2-1, 2*i, i**2+1
    # 验证勾股定理
    if a**2 + b**2 == c**2:
      print(f"{a}, {b}, {c}")

结论

通过Garfield的勾股定理，我们可以找到一些特殊的勾股三元组，并验证勾股定理的成立。这为解决一些实际问题，如计算三角形的边长、角度等提供了数学基础。