证明 z̄ = r[cos(-θ) + isin(-θ)] 和 z = r[cosθ + isinθ] 的乘积等于模的平方

在复数运算中，乘法是一个重要的操作。对于一个复数 z = x + iy，可以将其表示为模长和辐角的形式 z = r(cosθ + isinθ)，其中，r为模长，θ为辐角。类似的，其共轭复数可以表示为 z̄ = x - iy = r(cos(-θ) + isin(-θ))。那么，我们可以通过这两种表示方法来证明复数的乘积等于模的平方。

首先，我们需要用两种表示方法分别表示两个复数 z1 和 z2：

• z1 = r1(cosθ1 + isinθ1)
• z2 = r2(cosθ2 + isinθ2)

那么，它们的乘积就可以表示为：

z1z2 = r1r2(cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2 + i(cosθ1sinθ2 + sinθ1cosθ2))

我们可以利用三角函数的恒等式来简化这个式子，如下所示：

cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ

将 α 替换为 θ1，将 β 替换为 θ2，我们就得到了：

z1z2 = r1r2(cos(θ1 - θ2) + i(sin(θ1 - θ2)))

现在，我们将复数的乘积表示为模长和辐角的形式：

• z1z2 = r1r2(cosα + isinα)
• 其中，α = θ1 - θ2

接下来，我们计算它的共轭复数：

• (z1z2)̄ = r1r2(cosα - isinα)
• 其中，α = θ1 - θ2

我们将它们相乘，如下所示：

z1z2(z1z2)̄ = r1r2(cosα + isinα)r1r2(cosα - isinα) z1z2(z1z2)̄ = r1^2r2^2(cos^2α + sin^2α) z1z2(z1z2)̄ = r1^2r2^2

因此，z1z2(z1z2)̄ = |z1z2|^2，即复数乘积的模长的平方等于两个复数模长的乘积的平方。

代码实现：

在markdown中，我们可以使用数学公式的语法来表示上述公式:

- 复数可以用 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ 表示
- 共轭复数可以用 $z̄ = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ 表示
- 两个复数的乘积可以用 $z1z2 = rr_2(\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2))$ 表示
- 所以，$z1z2(z1z2)̄ = r1^2r2^2$

因此，我们可以将上述证明转换为markdown格式，如下所示:

## 证明 z̄ = r[cos(-θ) + isin(-θ)] 和 z = r[cosθ + isinθ] 的乘积等于模的平方

在复数运算中，乘法是一个重要的操作。对于一个复数 $z = x + iy$，可以将其表示为模长和辐角的形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，其中，$r$为模长，$\theta$为辐角。类似的，其共轭复数可以表示为 $z̄ = x - iy = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$。那么，我们可以通过这两种表示方法来证明复数的乘积等于模的平方。

首先，我们需要用两种表示方法分别表示两个复数 $z_1$ 和 $z_2$：

- $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$
- $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$

那么，它们的乘积就可以表示为：

$$
z_1z_2 = r_1r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 + i(\cos\theta_1\sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos\theta_2))
$$

我们可以利用三角函数的恒等式来简化这个式子，如下所示：

$$
\cos(α - β) = \cosα\cosβ + \sinα\sinβ
$$

$$
\sin(α - β) = \sinα\cosβ - \cosα\sinβ
$$

将 $α$ 替换为 $\theta_1$，将 $β$ 替换为 $\theta_2$，我们就得到了：

$$
z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2))
$$

现在，我们将复数的乘积表示为模长和辐角的形式：

- $z_1z_2 = r_1r_2(\cos\alpha + i\sin\alpha)$
- 其中，$\alpha = \theta_1 - \theta_2$

接下来，我们计算它的共轭复数：

- $(z_1z_2)̄ = r_1r_2(\cos\alpha - i\sin\alpha)$
- 其中，$\alpha = \theta_1 - \theta_2$

我们将它们相乘，如下所示：

$$
z_1z_2(z_1z_2)̄ = r_1r_2(\cos\alpha + i\sin\alpha)r_1r_2(\cos\alpha - i\sin\alpha)
$$

$$
z_1z_2(z_1z_2)̄ = r_1^2r_2^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)
$$

$$
z_1z_2(z_1z_2)̄ = r_1^2r_2^2
$$

因此，$z_1z_2(z_1z_2)̄ = |z_1z_2|^2$，即复数乘积的模长的平方等于两个复数模长的乘积的平方。