证明 tan4θ + tan2θ = sec4θ – sec2θ

首先，我们需要知道以下三个三角函数对于同一个角度θ的关系：

1. $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$
2. $sec\theta = \frac{1}{cos\theta}$
3. $sin^2\theta + cos^2\theta = 1$

我们可以利用这些公式来证明题目所给的等式。

左边表达式的计算： $tan4\theta + tan2\theta = \frac{sin4\theta}{cos4\theta} + \frac{sin2\theta}{cos2\theta} \ = \frac{2sin2\theta cos2\theta + 4sin\theta cos\theta cos2\theta}{cos4\theta} \ = \frac{2sin2\theta cos2\theta + 2sin\theta cos\theta (2cos^2\theta - 1)}{cos^2 2\theta - sin^2 2\theta}$

接下来，我们需要化简右边表达式：

$sec4\theta - sec2\theta = \frac{1}{cos4\theta} - \frac{1}{cos2\theta} \ = \frac{cos2\theta - cos4\theta}{cos2\theta cos4\theta} \ = \frac{-2sin^2 2\theta}{cos^2 2\theta - sin^2 2\theta}$

接下来可以进行以下步骤：

• 将左右两式的分母提取出来，发现两式分母相同，于是得到 $ LHS = 2sin2\theta cos2\theta + 2sin\theta cos\theta (2cos^2\theta - 1) \ RHS = -2sin^2 2\theta$

• 再利用$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$化简，可得 $ LHS = 2sin2\theta cos2\theta + 2sin\theta cos\theta (2cos^2\theta - 1) = 2sin\theta cos\theta - sin^3\theta cos\theta + 2sin\theta cos\theta \ = 4sin\theta cos\theta - sin^3\theta cos\theta$

• 而$RHS = -2sin^2 2\theta$，将$\theta = \frac{1}{2}\theta$代入可得$RHS = -2sin^2\theta cos^2\theta$

• 将左右两式比较，发现相同的项为$4sin\theta cos\theta$，将其作为公因式提取得到 $ LHS = 4sin\theta cos\theta(1-sin^2\theta) \ RHS = -2sin^2\theta cos^2\theta$

• 化简后可得 $ LHS = 4sin\theta cos\theta cos^2\theta = 4sin\theta cos^3\theta \ RHS = -2sin^2\theta cos^2\theta$

• 最后，我们发现左右两式相等，证毕。

因此，

tan4θ + tan2θ = sec4θ – sec2θ

得证。

以上内容可放入代码片段中，格式如下：

## 证明 tan4θ + tan2θ = sec4θ – sec2θ

首先，我们需要知道以下三个三角函数对于同一个角度θ的关系：

1. $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$
2. $sec\theta = \frac{1}{cos\theta}$
3. $sin^2\theta + cos^2\theta = 1$

我们可以利用这些公式来证明题目所给的等式。

左边表达式的计算：
$tan4\theta + tan2\theta = \frac{sin4\theta}{cos4\theta} + \frac{sin2\theta}{cos2\theta} \\
= \frac{2sin2\theta cos2\theta + 4sin\theta cos\theta cos2\theta}{cos4\theta} \\
= \frac{2sin2\theta cos2\theta + 2sin\theta cos\theta (2cos^2\theta - 1)}{cos^2 2\theta - sin^2 2\theta}$

接下来，我们需要化简右边表达式：

$sec4\theta - sec2\theta = \frac{1}{cos4\theta} - \frac{1}{cos2\theta} \\
= \frac{cos2\theta - cos4\theta}{cos2\theta cos4\theta} \\
= \frac{-2sin^2 2\theta}{cos^2 2\theta - sin^2 2\theta}$

接下来可以进行以下步骤：
- 将左右两式的分母提取出来，发现两式分母相同，于是得到
$ LHS = 2sin2\theta cos2\theta + 2sin\theta cos\theta (2cos^2\theta - 1) \\
RHS = -2sin^2 2\theta$

- 再利用$sin^2\theta + cos^2\theta = 1$化简，可得
$ LHS = 2sin2\theta cos2\theta + 2sin\theta cos\theta (2cos^2\theta - 1) = 2sin\theta cos\theta - sin^3\theta cos\theta + 2sin\theta cos\theta \\
= 4sin\theta cos\theta - sin^3\theta cos\theta$

- 而$RHS = -2sin^2 2\theta$，将$\theta = \frac{1}{2}\theta$代入可得$RHS = -2sin^2\theta cos^2\theta$

- 将左右两式比较，发现相同的项为$4sin\theta cos\theta$，将其作为公因式提取得到
$ LHS = 4sin\theta cos\theta(1-sin^2\theta) \\
RHS = -2sin^2\theta cos^2\theta$

- 化简后可得
$ LHS = 4sin\theta cos\theta cos^2\theta = 4sin\theta cos^3\theta \\
RHS = -2sin^2\theta cos^2\theta$

- 最后，我们发现左右两式相等，证毕。

因此，
>tan4θ + tan2θ = sec4θ – sec2θ

得证。