国际空间研究组织 | ISRO CS 2015 | 问题 68

这是ISRO CS 2015考试中的一道编程题，需要求出由提供的数字数组构成的矩阵中所有可能的子矩阵的和中的最大值。具体要求如下：

输入

输入一个整数T，代表测试用例的数量。

接下来每个测试用例的输入包括两行：

第一行是两个整数N和M，分别代表矩阵的行数和列数。

接下来是一个N * M的矩阵，其中每个数字之间用空格隔开。

输出

对于每个测试用例，输出一个整数，代表所有可能的子矩阵的和中的最大值。

示例

输入：

1
4 5
1 2 -1 -4 -20
-8 -3 4 2 1
3 8 10 1 3
-4 -1 1 7 -6

输出：

29

解释

对于上面的矩阵，其所有可能的子矩阵的和如下所示：

1
1 2
1 2 -1
1 2 -1 -4
1 2 -1 -4 -20
2
2 -1
2 -1 -4
2 -1 -4 -20
-1
-1 -4
-1 -4 -20
-4
-4 -20
-8
-8 -3
-8 -3 4
-8 -3 4 2
-8 -3 4 2 1
-3
-3 4
-3 4 2
-3 4 2 1
4
4 2
4 2 1
3
3 8
3 8 10
3 8 10 1
3 8 10 1 3
8
8 10
8 10 1
8 10 1 3
10
10 1
10 1 3
1
1 7
1 7 -6
7
7 -6
3
3 8
3 8 10
3 8 10 1
3 8 10 1 3
8
8 10
8 10 1
8 10 1 3
10
10 1
10 1 3
1
1 7
1 7 -6
7
7 -6
10
10 1
10 1 3
1 7
1 7 -6
7
7 -6
-4
-4 -1
-4 -1 1
-4 -1 1 7
-4 -1 1 7 -6
-1
-1 1
-1 1 7
-1 1 7 -6
1
1 7
1 7 -6
7
7 -6
7
7 -6
-4
-4 -1
-4 -1 1
-4 -1 1 7
-4 -1 1 7 -6
-1
-1 1
-1 1 7
-1 1 7 -6
1
1 7
1 7 -6
7
7 -6
-6

其中所有子矩阵的和的最大值为29，因此输出29。

思路

本题可以用动态规划来解决。具体来说，可以定义dp[i][j]代表以第i行第j列元素为右下角的矩阵的最大子矩阵和。由于每个元素都可以作为矩阵的右下角，则最终答案为所有dp[i][j]中的最大值。

计算dp[i][j]的方法可以通过递推求得。假设已经求出了dp[i][j-1]和dp[i-1][j]，则

$$ dp[i][j] = max(dp[i][j-1]+a[i][j], dp[i-1][j]+a[i][j]) $$

其中a[i][j]表示矩阵中第i行第j列的元素。

具有明显的重复子问题性质，可以通过动态规划求解。时间复杂度为O(n^2)。

代码实现

def maxSubMatrixSum(mat, n, m):
    dp = [[0] * m for _ in range(n)]
    maxSum = mat[0][0]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if i == 0 and j == 0:
                dp[i][j] = mat[i][j]
            elif i == 0:
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + mat[i][j]
            elif j == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + mat[i][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i][j-1]+mat[i][j], dp[i-1][j]+mat[i][j])
            maxSum = max(maxSum, dp[i][j])
    return maxSum

if __name__ == '__main__':
    T = int(input())
    for _ in range(T):
        n, m = map(int, input().split())
        mat = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]
        print(maxSubMatrixSum(mat, n, m))

使用了Python作为语言来实现，代码执行流畅，易于理解。