梯形规则

黎曼和用于近似曲线下的面积。将曲线下的面积划分为矩形，然后计算各个矩形的面积，它们的总和就是总面积。这种近似方法也可用于得出积分的定义。梯形规则使用了类似的方法。在这个规则中，曲线下的面积被分成许多梯形，然后计算它们的面积并将其相加以获得整个面积的近似值。

梯形和

这条规则是积分理论中最重要的规则之一。任何要计算的区域都被分成许多部分。顾名思义，这次的区域被划分为梯形。对于函数f(x)，函数和 x 轴围成的面积如下图所示。目标是计算 x = a 到 x = b 之间的面积。

现在，让我们将界限之间的曲线下面积划分为不同的梯形。

请注意，仍有一些区域剩余。这意味着该规则是一个近似值，但实际面积与近似面积之间的差异会随着梯形数量的增加而减小。理论上，当梯形的数量达到无穷大时，近似面积就等于实际面积。

考虑上图中给出的函数f(x)。令 f(x) 在区间内是连续的。把这个区间分成n个相等的区间，那么每个区间的宽度就变成了，

$\Delta x= \frac{b - a}{n}$

这样，

a = x ₀ < x ₁ < x ₂ < ...。 x _n = b

我们知道梯形的面积 = $\frac{\text{(sum of parallel sides)} \times \text{height}}{2}$

所以，这个近似下函数的总面积将变为，

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + f(x_1)) + \frac{\Delta x}{2}(f(x_1) + f(x_2)) + ... + \frac{\Delta x}{2}(f(x_{n-1}) + f(x_n))$

重新排列上述等式，

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) +...2f(x_{n-1} + f(x_n))$

现在，随着梯形数量的增加，总和变得更接近当前区域。

$\int^{b}_{a}f(x) = \lim_{n \to \infty}T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) +...2f(x_{n-1} + f(x_n))$

这里， $\Delta x= \frac{b - a}{n}$和$x_{i} = a + i\Delta x$

梯形规则的求和符号

我们知道梯形的面积基本上是平行边的长度乘以高度的平均值。因此，在这种情况下，考虑第 i^个区间的梯形，

$A_{i} = \frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}\Delta x$

由于总面积是所有面积之和，

A = A ₁ + A ₂ + ....+ A _n

一个= $\sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒A = $\sum_{i = 1}^{i = n}\frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}\Delta x$

这称为梯形和的 sigma 表示法。

黎曼和

就像前面的案例一样，黎曼总结了将曲线下区域划分为不同矩形部分的想法。随着矩形数量的增加，该区域越来越接近当前区域。在下图中，有一个函数f(x)。该函数下的区域被划分为许多矩形。曲线下的总面积是所有矩形的面积之和。

请注意，矩形的右端接触曲线。这称为右黎曼和。在另一种情况下，当矩形的左端接触曲线时，它们被称为左黎曼和。下图显示了左黎曼和的示例。

比方说$\Delta x$是间隔宽度，n 是上面声明的间隔数。然后总和由下式给出，

$A = \sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} \\ = \sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})\Delta x$

中点和 - 求和符号

在黎曼和中，矩形的左端或右端接触曲线。在这种情况下，矩形的中点接触曲线。其他一切都与黎曼求和相同。下图显示了函数f(x) 和中点不同的矩形求和。

假设 A _i表示第 i^个矩形的面积。在这种情况下，这个矩形的面积将是，

$A_{i} = f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2}) \Delta x$

现在，求和符号中的总面积将是，

$A = \sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} \\ = \sum^{i = n}_{i = 1}f(\frac{x_{i} + x_{i-1}}{2})\Delta x$

让我们看一些与梯形规则相关的示例问题。

示例问题

问题 1：求函数f(x) 在 x = 0 到 x = 4 之间以 4 个区间包围的区域。

f(x) = 4

解决方案：

Here a = 0, b = 4 and n = 4. 

$\Delta x= \frac{b - a}{n} \\ = \Delta x = \frac{4 - 0}{4} \\ = \Delta x = 1$

$x_{i} = a + i\Delta x \\ = x_{i} = 0 + i \\ = x_{i} = i$

The trapezoidal rule for n = 4 is, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Substituting the values in this equation, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) \\ = \frac{1}{2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = \frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) + 4) \\ = 16$

问题 2：找到函数f(x) 在 x = 0 到 x = 3 之间以 3 个间隔包围的区域。

f(x) = x

解决方案：

Here a = 0, b = 3 and n = 3. 

$\Delta x= \frac{b - a}{n} \\ = \Delta x = \frac{3 - 0}{3} \\ = \Delta x = 1$

$x_{i} = a + i\Delta x \\ = x_{i} = 0 + i \\ = x_{i} = i$

The trapezoidal rule for n = 3 is, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Substituting the values in this equation, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) \\ = \frac{1}{2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) = \frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3))\\ = \frac{1}{2}(2 + 4 + 6) \\ = 6$

问题 3：求函数f(x) 在 x = 0 到 x = 2 之间以 2 个间隔包围的区域。

f(x) = 2x

解决方案：

Here a = 0, b = 2 and n = 2. 

$\Delta x= \frac{b - a}{n} \\ = \Delta x = \frac{2 - 0}{2} \\ = \Delta x = 1$

$x_{i} = a + i\Delta x \\ = x_{i} = 0 + i \\ = x_{i} = i$

The trapezoidal rule for n = 2 is, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Substituting the values in this equation, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) \\ = \frac{1}{2}(f(0) + 2f(1) + f(2)) = \frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4))\\ = \frac{1}{2}(8) \\ = 4$

问题 4：求函数f(x) 在 x = 0 到 x = 3 之间以 3 个间隔包围的区域。

f(x) = x ²

解决方案：

Here a = 0, b = 3 and n = 3. 

$\Delta x= \frac{b - a}{n} \\ = \Delta x = \frac{3 - 0}{3} \\ = \Delta x = 1$

$x_{i} = a + i\Delta x \\ = x_{i} = 0 + i \\ = x_{i} = i$

The trapezoidal rule for n = 3 is, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Substituting the values in this equation, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) \\ = \frac{1}{2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) = \frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9))\\ = \frac{1}{2}(2 + 8 + 18) \\ = 14$

问题 5：找到函数f(x) 在 x = 0 到 x = 4 之间以 4 个间隔包围的区域。

f(x) = x ³ + 1

解决方案：

Here a = 0, b = 4 and n = 4. 

$\Delta x= \frac{b - a}{n} \\ = \Delta x = \frac{4 - 0}{4} \\ = \Delta x = 1$

$x_{i} = a + i\Delta x \\ = x_{i} = 0 + i \\ = x_{i} = i$

The trapezoidal rule for n = 4 is, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Substituting the values in this equation, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) \\ = \frac{1}{2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = \frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) )\\ = \frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) \\ = 72$

问题 6：找到函数f(x) 在 x = 0 到 x = 4 之间以 4 个间隔包围的区域。

f(x) = e ^x

解决方案：

Here a = 0, b = 4 and n = 4. 

$\Delta x= \frac{b - a}{n} \\ = \Delta x = \frac{4 - 0}{4} \\ = \Delta x = 1$

$x_{i} = a + i\Delta x \\ = x_{i} = 0 + i \\ = x_{i} = i$

The trapezoidal rule for n = 4 is, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Substituting the values in this equation, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) \\ = \frac{1}{2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = \frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e^2 + 2e^3 + e^4 )$

问题 7：找到下面给出的函数f(x) 在 x = 0 到 x = 10 之间以 5 个间隔包围的区域。

解决方案：

Here a = 0, b = 10 and n = 5. 

$\Delta x= \frac{b - a}{n} \\ = \Delta x = \frac{10 - 0}{5} \\ = \Delta x = 2$

$x_{i} = a + i\Delta x \\ = x_{i} = 0 + i(2) \\ = x_{i} = 2i$

The trapezoidal rule for n = 5 is, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + 2f(x_4) + f(x_5))$

From the graph, the values of the function can be inferred, 

$T_n = \frac{\Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + 2f(x_4) +f(x_5)) \\ = \frac{2}{2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + 2f(4) + f(5)) = (4 + + 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 + 5)\\ = 49$