函数导数代数

导数是微积分不可或缺的一部分。它们测量任何数量的变化率。假设有一个水箱漏水。要求当地工程师测量水箱变空的时间。在这种情况下，工程师需要知道两件事——水箱的大小和水流出的速度。水箱的大小可以很容易地找到，但要测量漏水的速度，他将不得不使用衍生工具。就这样，衍生品在我们的生活中交织在一起。计算简单函数的导数很容易，但是当函数变得复杂时，解决这个问题的正确方法是将问题分解为更容易解决的子问题。让我们看看在衍生品的情况下执行此操作的一些规则和方法。

衍生品

衍生品建立在极限概念之上。它们测量宽度接近零值的区间中函数值之间的差异。例如，假设给定一个函数f(x)，目标是使用极限计算该函数在 x = a 点的导数。它表示为$\frac{df}{dx}$ , 或 f'(x)。

$\frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - (x)}$

在 x = a 时，

$\frac{df}{dx} = \lim_{h \to 0}\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

注意图中，随着间隔“h”接近零。这条线接近一个和弦的切线。这意味着，现在当 h 接近零时的导数为我们提供了该特定点的切线斜率。

一些基本函数的导数

下表显示了一些标准基本函数的派生词。

Common Function	Function	Derivative
Constant Function	c	f'(x) = 0
Line	Ax + b	f'(x) = A
Square	x2	f'(x) = 2x
Square Root	√x	f'(x) = $\frac{-1}{\sqrt{x}}$
Exponential	ex	ex
Exponential	ax	ln(a)ax
Logarithms	logex	$\frac{1}{x}$
Logarithms	logax	$\frac{1}{xln(a)}$
Trigonometry	sin(x)	cos(x)
Trigonometry	cos(x)	-sin(x)
Trigonometry	tan(x)	sec2(x)

区分规则

上表向我们展示了一些标准函数的衍生，但在现实生活中，这些函数并不总是简单的。通常，遇到的函数涉及到多个函数，这些函数通过诸如加法、减法、乘法和除法等运算符相互关联。在这种情况下，通过它们的极限定义来求解导数是非常麻烦的。为了使这种计算变得容易，给出了一些规则：

1. 求和或差规则
2. 产品和部门规则

考虑两个函数 f(x) 和 g(x)。假设有第三个函数h(x) 结合了这两个函数。

加减法则：

案例 1：h(x) = f(x) + g(x)

该函数是 f(x) 和 g(x) 的总和，这些函数的导数由下式给出，

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x) + g(x))$

⇒ $\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x)) + \frac{d}{dx}(g(x))$

要么

h'(x) = f'(x) + g'(x)

情况 2：h(x) = f(x) – g(x)

这个函数是 f(x) 和 g(x) 的差，这些函数的导数由下式给出，

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x) - g(x))$

⇒ $\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x)) - \frac{d}{dx}(g(x))$

要么

h'(x) = f'(x) – g'(x)

产品及分部规则：

情况 (i)：h(x) = f(x) xg(x)

该函数是 f(x) 和 g(x) 的乘积，这些函数的导数由下式给出，

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x) \times g(x))$

⇒ $\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(f(x))g(x) + \frac{d}{dx}(g(x))f(x)$

要么

h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x) f(x)

情况 (i): h(x) = $\frac{f(x)}{g(x)}$

该函数是 f(x) 和 g(x) 的除法，这些函数的导数由下式给出，

$\frac{dh}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)})$

⇒ $\frac{dh}{dx} = \frac{\frac{d}{dx}(f(x))g(x) - \frac{d}{dx}(g(x))f(x)}{(g(x))^2}$

要么

h'(x) = $\frac{f'(x)g(x) - g'(x) f(x)}{(g(x))^2}$

划分规则和乘积规则也称为莱布尼茨规则。

让我们看看这些规则的一些示例问题。

示例问题

问题 1：求给定函数f(x) 的导数。

f(x) = x ² + 3x

解决方案：

This function is the sum of two different function. Sum rule will be used here. 

f(x) = x² + 3x 

Here, h(x) = x² and g(x) = 3x. 

f(x) = h(x) + g(x) 

⇒f'(x) = h'(x) + g'(x) 

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}h(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

⇒f'(x) =$\frac{d}{dx}x^2 + \frac{d}{dx}3x$

⇒f'(x) = 2x + 3

问题 2：求给定函数f(x) 的导数。

f(x) = e ^x + sin(x)

解决方案：

This function is the sum of two different function. Sum rule will be used here. 

f(x) =e^x + sin(x) 

Here, h(x) =e^x and g(x) = sin(x)

f(x) = h(x) + g(x) 

⇒f'(x) = h'(x) + g'(x) 

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}h(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

⇒f'(x) =$\frac{d}{dx}e^x + \frac{d}{dx}sin(x)$

⇒f'(x) = e^x + cos(x)

问题 3：求给定函数f(x) 的导数，

f(x) = 5x ⁴ – 3x ²

解决方案：

This function is the difference of two different function. Difference rule will be used here. 

f(x) =5x⁴ – 3x² 

Here, h(x) =5x⁴ and g(x) = 3x² 

f(x) = h(x) – g(x) 

⇒f'(x) = h'(x) – g'(x) 

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}h(x) - \frac{d}{dx}g(x)$

⇒f'(x) =$\frac{d}{dx}5x^4 - \frac{d}{dx}3x^2$

⇒f'(x) = 20x³ + 6x

问题 4：求给定函数f(x) 的导数，

f(x) = 5log(x) – 3x

解决方案：

This function is the difference of two different function. Difference rule will be used here. 

f(x) = 5log(x) – 3x

Here, h(x) =5log(x) and g(x) = 3x 

f(x) = h(x) – g(x) 

⇒f'(x) = h'(x) – g'(x) 

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}h(x) - \frac{d}{dx}g(x)$

⇒f'(x) =$\frac{d}{dx}5log(x) - \frac{d}{dx}3x$

⇒f'(x) = $\frac{5}{x} - 3$

问题 5：求给定函数f(x) 的导数，

f(x) = 5x ⁴ .sin(x)

解决方案：

This function is the product of two different function. Product rule will be used here. 

f(x) =5x⁴.sin(x)

Here, h(x) =5x⁴ and g(x) = sin(x)

f(x) = h(x).g(x) 

⇒f'(x) = h'(x) g(x) + h(x)g'(x) 

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}(f(x))g(x) + \frac{d}{dx}(g(x))f(x)$

⇒f'(x) =$\frac{d}{dx}(5x^4)sin(x) + \frac{d}{dx}(sin(x))5x^4$

⇒f'(x) = 20x³sin(x) + 5x⁴cos(x)

问题 6：求给定函数f(x) 的导数，

f(x) = 5e ^x .log(x)

解决方案：

This function is the product of two different function. Product rule will be used here. 

f(x) =5e^x.log(x)

Here, h(x) =5e^x and g(x) = log(x)

f(x) = h(x).g(x) 

⇒f'(x) = h'(x) g(x) + h(x)g'(x) 

⇒ f'(x) = $\frac{d}{dx}(f(x))g(x) + \frac{d}{dx}(g(x))f(x)$

⇒f'(x) =$\frac{d}{dx}(5e^x)log(x) + \frac{d}{dx}(log(x))5e^x$

⇒f'(x) =$5(e^xlog(x) + \frac{1}{x}e^x)$

问题 7：求给定函数f(x) 的导数，

f(x) = $\frac{x + 1}{2x}$

解决方案：

This function is the division of two different function. Division rule will be used here. 

f(x) =$\frac{x + 1}{2x}$

Here, h(x) =x + 1 and g(x) = 2x

f(x) = $\frac{h(x)}{g(x)}$

⇒f'(x) = $\frac{g(x)h'(x) - h(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

⇒ f'(x) = $\frac{\frac{d}{dx}(h(x))g(x) - \frac{d}{dx}(g(x))h(x)}{(g(x))^2}$

⇒f'(x) =$\frac{\frac{d}{dx}(x + 1)2x - \frac{d}{dx}(2x)(x + 1)}{(x + 1)^2}$

⇒f'(x) =$\frac{2x - 2(x + 1)}{(x + 1)^2}$

⇒f'(x) = $\frac{-2}{(x + 1)^2}$

问题 8：求给定函数f(x) 的导数，

f(x) = $\frac{log(x)}{2x}$

解决方案：

This function is the division of two different function. Division rule will be used here. 

f(x) =$\frac{log(x)}{2x}$

Here, h(x) =log(x) and g(x) = 2x

f(x) = $\frac{h(x)}{g(x)}$

⇒f'(x) = $\frac{g(x)h'(x) - h(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

⇒ f'(x) = $\frac{\frac{d}{dx}(h(x))g(x) - \frac{d}{dx}(g(x))h(x)}{(g(x))^2}$

⇒f'(x) =$\frac{\frac{d}{dx}(log(x))2x - \frac{d}{dx}(2x)(log(x))}{4x^2}$

⇒f'(x) =$\frac{1- 2log(x)}{4x^2}$