GATE-CS-2014-(Set-3) | 第65章

本篇文章是介绍关于GATE-CS-2014-(Set-3)考试的第65章的内容，主要涉及程序设计。

问题描述

给定一个有向无环图，每个节点上都有一个点权。问题是找到从起始节点到结束节点的所有路径，使得路径上的点权之和最小。

简单解法

在给定的有向无环图中，可以使用topological sorting（拓扑排序）来创建所有可能的路径。根据拓扑排序的性质，所有的边都从左到右，从上到下排序。因此，我们可以在拓扑序列上进行动态规划，以找到最小路径。

动态规划的两个主要方程式是：

• dp[start] = 0;（起始节点的路径长度为0）
• dp[i] = min(dp[i], dp[j] + weight(i,j))，其中i是结束节点，j是所有前驱节点，weight(i,j)是从j到i的边的权重。

这两个方程式可以在O(V+E)的时间复杂度内解决问题，其中V是节点数，E是边数。

更优解法

另一种更优的方法是使用Dijkstra算法，它可以在少量的代码中解决问题，但需要额外的预处理步骤。

Dijkstra算法是一种基于贪心策略的最短路径算法。它选择当前距源点最近的节点，并将从该节点到所有未访问节点的距离更新为到源点的距离加上边权值。

由于有向图的性质，可以使用一个类似于拓扑排序的预处理步骤来加速这个算法。具体地说，我们对每个点首先计算它的最短路径的长度，然后根据拓扑排序的次序，逐步降低它们到未访问节点的距离。这样，我们只需要在所有节点上一次进行Dijkstra算法，即可得到最小路径。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(E log(V))，其中V是节点数，E是边数。虽然它的时间复杂度比动态规划更高，但它在实际中更加快速，尤其是在图中存在许多冗余路径时。