题目介绍

本题为“门|门 CS 1997”的第67题，是一道关于图论的典型问题。题目要求在一个有向无环图中，找到一条从起点到终点距离最短的路径，并输出该路径。

解题思路

1. Dijkstra算法

本题可以使用Dijkstra算法进行求解。Dijkstra算法是一种贪心算法，用于求图中某个节点到剩下所有节点的最短路径。我们可以从起点开始，依次将距离起点距离最近的节点加入已确定最短路径的集合中，并更新其未确定的邻居节点的距离。最终得到起点到其余所有节点的最短距离。

在本题中，我们可以使用Dijkstra算法求得起点到终点的最短路径。具体实现过程可以参考下面的代码片段：

from heapq import heappush, heappop

def dijkstra(edges, start, end):
    # 初始化距离数组和前驱节点数组
    distance = [float('inf')] * (len(edges) + 1)
    predecessor = [None] * (len(edges) + 1)
    # 初始化起点
    distance[start] = 0
    queue = [(0, start)]
    # 开始遍历
    while queue:
        # 从队列中取出距离起点最近的节点
        dist, node = heappop(queue)
        # 如果该节点已经被访问过，跳过本次循环
        if distance[node] < dist:
            continue
        # 遍历当前节点的邻居节点
        for neighbor, weight in edges[node]:
            # 计算从起点到该邻居节点的距离
            new_distance = distance[node] + weight
            # 如果新距离比当前距离小，更新距离和前驱节点
            if new_distance < distance[neighbor]:
                distance[neighbor] = new_distance
                predecessor[neighbor] = node
                heappush(queue, (new_distance, neighbor))
    # 返回起点到终点的最短距离和路径
    path = [end]
    node = end
    while node != start:
        node = predecessor[node]
        path.append(node)
    path.reverse()
    return distance[end], path

2. 拓扑排序

另一种求解有向无环图最短路径的方法是使用拓扑排序。拓扑排序是一种对有向无环图进行排序的算法，将图中所有节点按照拓扑顺序进行排序，即每个节点的入度都小于或等于它前面的节点的入度，从而使得任何一条边的起点排在终点之前。

在本题中，我们可以使用拓扑排序求得起点到终点的最短路径。具体实现过程可以参考下面的代码片段：

def topological_sort(graph, start, end):
    # 计算每个节点的入度
    in_degrees = {v: 0 for v in graph}
    for v in graph:
        for u, _ in graph[v]:
            in_degrees[u] += 1
    # 初始化起点
    distance = {start: 0}
    queue = [start]
    # 开始遍历
    while queue:
        node = queue.pop(0)
        # 如果已经到达终点，结束遍历
        if node == end:
            break
        # 更新当前节点的临近节点的最短距离
        for neighbor, weight in graph[node]:
            new_distance = distance[node] + weight
            if neighbor not in distance or new_distance < distance[neighbor]:
                distance[neighbor] = new_distance
            # 将入度为0的节点加入队列
            in_degrees[neighbor] -= 1
            if in_degrees[neighbor] == 0:
                queue.append(neighbor)
    # 返回起点到终点的最短距离和路径
    path = [end]
    node = end
    while node != start:
        for neighbor, weight in graph[node]:
            if distance[neighbor] + weight == distance[node]:
                path.append(neighbor)
                node = neighbor
    path.reverse()
    return distance[end], path

总结

本题涉及到了图论中的两种求解有向无环图最短路径的方法：Dijkstra算法和拓扑排序。在实际应用中可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。如果是稠密图，最好使用Dijkstra算法；如果是稀疏图，可以考虑使用拓扑排序。