门|门 CS 1997 |问题 6

简介

这道题目是一道经典的计算几何题目，它考察了计算几何中的点线距离，以及如何通过已知的线段来构造新的线段。

题目描述

给出平面上一条线段AB和一条直线P，求从线段AB上的任意一点C到直线P的最短距离，并且构造出一条经过C且垂直于直线P的线段。

算法思路

计算点线距离

首先，我们需要计算点线距离。对于一个点P(x0,y0)和一条直线Ax+By+C=0，根据公式，可以得到点P到直线的距离为：

d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

这个公式可以通过点P到直线的法向量计算得出。

构造新的线段

接下来，我们需要构造一条经过点C且垂直于直线P的线段。根据垂线的定义，可以得出直线P的法向量为：

n = (A,B)

所以我们可以通过将向量n逆时针旋转90度来得到C点所在直线的法向量：

m = (-B,A)

这个新的向量方向就是构造出的垂线所在的方向。

那么接下来我们就可以通过点C和这个垂线的方向来构造出垂线所在的直线段了。

代码实现

/* 点P 到线段AB的最短距离 */
double Point2LineSegDist(Point p, LineSeg l)
{
    /* 计算线段AB的向量 */
    double vx = l.b.x - l.a.x;
    double vy = l.b.y - l.a.y;

    /* 计算向量AP */
    double wx = p.x - l.a.x;
    double wy = p.y - l.a.y;

    /* 计算AP和AB的内积 */
    double vw = vx * wx + vy * wy;

    /* 如果AP与AB的夹角大于90度，则P点到线段的距离为AP的长度 */
    if (vw <= 0) return sqrt(wx * wx + wy * wy);

    /* 计算AB的长度的平方 */
    double vv = vx * vx + vy * vy;

    /* 如果AP在AB上的投影的长度大于AB的长度，则P点到线段的距离为BP的长度 */
    if (vw >= vv) return sqrt((p.x - l.b.x) * (p.x - l.b.x) + (p.y - l.b.y) * (p.y - l.b.y));

    /* 计算P到AB的距离 */
    double d = (l.a.y - l.b.y) * p.x + (l.b.x - l.a.x) * p.y + l.a.x * l.b.y - l.b.x * l.a.y;
    return abs(d) / sqrt(vv);
}

/* 构造经过点C且垂直于直线P的线段 */
LineSeg CreatePerpendicularSeg(Point c, Vector p, double len)
{
    /* 将P向量逆时针旋转90度得到垂直方向的向量 */
    Vector m = Rotate90(p);

    /* 计算垂足 */
    Point h = MoveAlongVec(c, m, len);

    /* 构造直线段 */
    LineSeg l(c, h);
    return l;
}

总结

本题考察了计算几何中的点线距离和向量旋转等知识，对于熟悉计算几何的程序员来说并不难。然而对于对计算几何不够熟悉的程序员来说，这可能是一道有一定难度的题目。