门|门 CS 1997 |问题 4

这是一道经典的计算几何问题，也是投影学习中的基础题目。在该问题中，有一扇门和一堵墙，两者都是矩形，不难证明，此时如果墙与地面垂直，那么此问题可以退化为一个二维平面上两个矩形的相交问题。

题目描述

假设矩形墙的顶部在水平面 $h$ 上，门本身也是一个矩形，且可以在墙面上平移。也就是说，门在墙上的位置可以用一个浮点数表示。此时，求门打开最多可以到达的高度上限。

需要注意的是，假设门的高度为 $h_1$ ，门把戏的高度为 $h_2$ ，$h_1 \leq h_2$ ，则当门打开到 $x$ 的时候，对应的门把手高度的位置为 $h_1 + \frac{h_2-h_1}{L} x $ ，其中 $L$ 为门的长度。

解题思路

这是一道计算几何的题目，我们可以通过计算相交部分来解决这个问题。不难发现，如果我们知道了门的左右端点，那么我们就可以通过计算门和墙的相交部分来得到最高的高度值。因此，我们只需要找到门的左右端点即可。

我们设门的左端点为 $x_l$ ，右端点为 $x_r$ ，此时我们可以从左向右遍历墙面，每次判断门的左端点是否在该位置上方，如果是的话则左端点为该位置；同理，我们可以从右向左遍历墙面，每次判断门的右端点是否在该位置上方，如果是的话则右端点为该位置。最终，我们可以根据左右端点来计算出最高的高度。

代码实现

def calc_door_height(wall, door, h1, h2):
    """
    计算门打开最多可以到达的高度上限
    :param wall: 墙的位置, 是一个矩形，用一组 (x1, x2) 表示, x1 表示墙左端位置, x2 表示墙右端位置
    :param door: 门的位置, 是一个矩形，用一组 (x1, x2) 表示, x1 表示门左端位置, x2 表示门右端位置
    :param h1: 门的高度下限
    :param h2: 门的高度上限
    :return: 门打开最多可以到达的高度上限
    """
    x_l = wall[0]
    x_r = wall[1]
    L = door[1] - door[0]
    for i in range(x_l, x_r + 1):
        if i >= door[0]:
            x_l = i
            break
    for i in range(x_r, x_l - 1, -1):
        if i <= door[1]:
            x_r = i
            break
    return h1 + (h2 - h1) * (x_r - x_l) / L

总结

本题是计算几何的一个简单问题，通过计算相交部分来得到答案。同时，还要注意题目中给出的门的高度计算方式，不要轻易出现失误。