UGC NET CS 2015 年 12 月 – III 问题 63

这个问题是关于算法的。它要求我们分析给定算法的时间复杂度和代码的输出。

算法分析

给定算法如下：

function mystery(n) {
  if (n <= 0) {
    return 0
  }
  
  let sum = n;
  for (let i = 1; i < n; i++) {
    sum += mystery(i);
  }
  
  return sum;
}

这个算法是一个递归算法，每次递归都会使得 n 的值减小。如果我们想计算 mystery(5)，那么它会递归调用 mystery(1)，mystery(2)，mystery(3)，mystery(4)，最终返回的结果是 5 + mystery(1) + mystery(2) + mystery(3) + mystery(4)。其中，mystery(1) 和 mystery(2) 都是直接返回 0，mystery(3) 是返回 1，mystery(4) 是返回 4。

那么，我们可以根据这个算法的递归关系式写出它的时间复杂度的计算式：

$T(n) = cn + \sum_{i=1}^{n-1} T(i)$

其中 $c$ 是一些常数。这个公式的意义是，当调用 mystery(n) 时，它需要进行一些常数次的计算（没有递归的开销），然后递归调用它的子问题 mystery(1)...mystery(n-1)。对于子问题，我们需要计算它们的时间复杂度 $T(i)$，然后加和，最终得到 $T(n)$ 的值。

这个公式看起来比较复杂，我们可以进行一些简化。首先，我们假设 $T(n)$ 是一个连续函数，它可以用一个常数 $k$ 乘以 $n \log n$ 来近似，也就是：

$T(n) \approx kn \log n$

根据这个假设，我们可以代入公式进行验证：

$kn \log n = cn + \sum_{i=1}^{n-1} ki \log i$

然后，我们分析左边式子的增长速度和右边式子的增长速度是否一致。由于 $\log(x+1) \geq \log x$，所以有：

$\begin{aligned} ki \log i &= k(i-1) \log (i-1) + k \log i \ &\leq k(i-1) \log i + k \log i \ &= ki \log i - k \log i + ki - k \ &< ki \log i \end{aligned}$

因此，我们可以得到：

$\begin{aligned} T(n) &= O(n \log n) \ &= \Omega(n) \ &= \Theta(n \log n) \end{aligned}$

也就是说，给定算法的时间复杂度是 $O(n \log n)$。但要注意的是，这里的精度只是一个近似值，不能用于精确计算。

代码输出

除了计算时间复杂度，给定算法还需要输出它的执行结果。当调用 mystery(5) 时，它的返回值是 26。因此，我们可以写出下面的代码：

console.log(mystery(5)); // 输出 26

这个代码被执行后，控制台上会输出 26。