UGC NET CS 2015 年 12 月 – III |问题 56

这道题是UGC NET CS 2015 年 12 月第三场考试的问题56。这题主要考察对计算机科学中的容斥原理的理解。

题干

设$A$和$B$是两个有限集合，$n(A)$和$n(B)$分别表示它们的元素个数。如果给定$A$和$B$的一个$n$元子集$C$，且$C$中的元素均属于$A$和$B$的交集，证明：

$$|A \cup B| = |A| + |B| - n$$

其中$n=|A\cap B\cap C|$。

解析

这道题考查了容斥原理的应用。

首先我们可以知道：

$$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$$

我们需要证明$|A\cup B| = |A| + |B| - n$。很明显，如果我们能证明：

$$n = |A\cap B| - |A\cap B \cap C|$$

那么我们就能得到：

$$|A\cup B| = |A| + |B| - n = |A| + |B| - |A\cap B| + |A\cap B \cap C| = |A\cup B| + |A\cap B \cap C|$$

证明上面的式子，我们可以通过一个容斥原理的变形来得到。我们知道，容斥原理主要有如下形式：

$$\begin{aligned} |A\cup B| &= |A| + |B| - |A\cap B| \ &= |A| + |B| - 2|A\cap B| + |A\cap B| \ &= |A| - |A\cap B| + |B| - |A\cap B| + |A\cap B|\ &= |A\setminus B| + |B\setminus A| + |A\cap B| \end{aligned}$$

因此，我们可以类比得到：

$$\begin{aligned} n &= |A\cap B\cap C| \ &= |A\cap B \cap C| + |A\cap B| - |A\cap B\cap C| - |A\setminus B\cap C | - |B\setminus A\cap C| \ &= |A\cap B| - |A\setminus B\cap C | - |B\setminus A\cap C| \end{aligned}$$

这样，我们就证明了本题。

总结

这道题主要考查了对容斥原理的应用，同时对集合的基本概念也有一定的考察。容斥原理在计算机科学、概率论和统计学中都有着广泛的应用，是一种十分重要的数学工具。

代码片段：

首先我们可以知道：

$$|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|$$

我们需要证明$|A\cup B| = |A| + |B| - n$。很明显，如果我们能证明：

$$n = |A\cap B| - |A\cap B \cap C|$$