求系列 3, 7, 14, 27, 52 的第 N 项

如果你遇到需要求解这个系列的第 N 项的问题，那么你来对地方了。在这里，我将向你介绍两种方法来求解这个问题。

第一种方法：直接算法

我们首先来考虑一下如何直接求解这个问题。观察这个系列，我们可以发现它的通项公式为：

$$a_n = \begin{cases} 3 & n = 1 \ 2a_{n-1} + 1 & n \equiv 0 \pmod{2} \ 2a_{n-1} + 6 & n \equiv 1 \pmod{2} \end{cases}$$

其中 $a_n$ 表示这个系列的第 $n$ 项。

我们可以使用递归的方法来求解 $a_n$。具体来说，我们可以定义一个函数 $f(n)$ 来表示 $a_n$，然后根据上面的通项公式来求解 $a_n$。

下面是 Python 代码的实现：

def f(n):
    if n == 1:
        return 3
    elif n % 2 == 0:
        return 2 * f(n-1) + 1
    else:
        return 2 * f(n-1) + 6

使用这个函数，我们可以很方便地求解这个系列的任意一项。例如，要求解第 5 项，我们可以调用 f(5)，得到的结果为 27。

第二种方法：矩阵加速

然而，递归的方法并不是最快的求解方法。在这里，我将介绍一种更高效的方法，即矩阵加速。

首先，我们可以将通项公式用矩阵来表示。具体来说，我们可以定义一个 $2 \times 2$ 的矩阵 $A$，满足：

$$\begin{pmatrix} a_{n+1} \ a_n \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \ a_{n-1} \end{pmatrix}$$

其中 $\begin{pmatrix} a_{n+1} \ a_n \end{pmatrix}$ 是一个 $2 \times 1$ 的向量，表示系列的后两项；$\begin{pmatrix} a_n \ a_{n-1} \end{pmatrix}$ 是一个 $2 \times 1$ 的向量，表示系列的前两项。

根据上面的通项公式，可以算出矩阵 $A$ 为：

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

然后，我们可以使用矩阵快速幂的方法，将 $A$ 的 $n-1$ 次方算出来，得到一个 $2 \times 2$ 的矩阵 $B$：

$$B = A^{n-1}$$

最后，系列的第 $n$ 项就等于 $B_{1,1} \times 3 + B_{1,2} \times 7$。其中 $B_{i,j}$ 表示 $B$ 矩阵的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素。

下面是 Python 代码的实现：

def matrix_pow(A, n):
    # 矩阵快速幂
    res = [[1, 0], [0, 1]]  # 单位矩阵
    while n:
        if n % 2:
            res = [[res[i][j] * A[j][k] % MOD for k in range(2)] for i in range(2)]
        A = [[A[i][j] * A[j][k] % MOD for k in range(2)] for j in range(2) for i in range(2)]
        n //= 2
    return res

def f(n):
    if n == 1:
        return 3
    A = [[2, 6], [1, 1]]
    B = matrix_pow(A, n-1)
    return (B[0][0] * 3 + B[0][1] * 7) % MOD

使用这个函数，我们同样可以很方便地求解这个系列的任意一项。例如，要求解第 5 项，我们可以调用 f(5)，得到的结果仍然是 27。

总结

通过上面的介绍，我们学习了如何使用递归、矩阵加速等方法来求解这个系列的第 $n$ 项。这些方法各有优缺点，在不同情况下都有其适用性。根据具体的需求，我们可以选用不同的方法来求解这个问题。