用总和 K 最大化非重叠子数组的数量

介绍

给定一个长度为 n 的数组，要将该数组分成若干个非重叠的子数组，使得每个子数组的元素总和不超过 K，并且子数组数量最大化。

这是一个经典的问题，解决该问题的算法可以应用到许多领域。本文将介绍两种常见的解决方法：动态规划和贪心算法。

动态规划解法

动态规划算法的核心思想是将复杂的问题分解成若干个子问题，通过求解子问题得到原问题的解。本问题可以使用动态规划算法求解。

状态定义

设 dp[i][j] 表示前 i 个元素分成若干个子数组，每个子数组的元素总和不超过 j 的最大子数组数量。

状态转移

• 如果第 i 个元素放在单独的一个子数组中，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-arr[i]] + 1。
• 如果第 i 个元素加入上一个子数组中，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-arr[i]]。
• 如果第 i 个元素单独成一组，即第 i-1 个元素的总和超过了 j，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]。

最终结果

最终的结果是 dp[n][K]，即前 n 个元素分成若干个子数组，每个子数组的元素总和不超过 K 的最大子数组数量。

伪代码

dp = [[0]*k for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, k+1):
        if j >= arr[i-1]:
            dp[i][j] = dp[i-1][j-arr[i-1]] + 1
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-arr[i-1]])
        else:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
print(dp[n][K])

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(n*K)。

贪心解法

贪心算法的核心思想是每次选择当前最优的解，最终得到全局最优的解。本问题也可以使用贪心算法求解。

解法

1. 从左往右遍历数组，找到第一个元素 sum 大于等于 K，此时可以将前面的所有元素划分成一个子数组。令 count=1。
2. 从 sum 的下一个位置开始往右遍历，每次加上一个元素，如果 sum 加上这个元素后的值小于等于 K，则继续加，直到找到一个位置 j，使得 sum 加上下一个元素的值大于 K。此时将位置 i 到 j-1 的所有元素划分成一个子数组，并将 count 加 1。
3. 重复步骤 2，直到遍历完整个数组。

伪代码

i, j, sum, count = 0, 0, 0, 0
while i < n:
    while j < n and sum + arr[j] <= K:
        sum += arr[j]
        j += 1
    count += 1
    sum = 0
    i = j
print(count)

时间复杂度

该算法的时间复杂度为 O(n)。

总结

以上两种算法各有优缺点，动态规划算法的时间复杂度相对较高，但是可以保证得到全局最优解；贪心算法时间复杂度较低，但是无法保证得到全局最优解。

在实际应用中需要根据具体情况进行选择。如果数组长度和 K 都很小，则使用动态规划算法；如果数组长度很大，但 K 较小，则使用贪心算法。当数组长度和 K 都很大时，可以考虑使用近似算法等其他算法。